一维新型函数的光子晶体

刘晓静, 张斯淇, 王 婧, 巴 诺, 王清才, 王 岩, 吴义恒, 郭义庆

(1. 吉林师范大学 物理学院, 吉林 四平136000; 2. 中国科学院 高能物理研究所, 北京 100049)

Yablonovitch[1]和John[2]各自提出了光子晶体(PC)和光子带隙(PBG)结构的概念, 并指出光子晶体的两个基本性质: 光子带隙和光子局域. 光子晶体是一种介电常数周期性排列的人工介质, 对光具有频率选择性, 即某些频率的光不能在光子晶体中存在或传输. 光子晶体中介质折射率周期性变化对光子的影响与半导体材料中周期性势场对电子的影响类似[3-4]. 光子晶体应用广泛, 如利用光子晶体可制作光反射镜、 光滤波器、 零阈值的激光器和发光二极管等[5-8]. 计算光子晶体禁带的方法包括传输矩阵法、 平面波展开法、 时域有限差分法、 有限元法和多重散射法等[9-12].

本文提出一种新型函数光子晶体, 其介质层的折射率为随空间位置变化的周期函数; 并给出光在函数光子晶体中的运动方程, 根据光学传输理论计算一维函数光子晶体的传输特性, 给出一维函数光子晶体的色散关系、 带隙结构和透射率. 计算结果表明, 利用函数光子晶体可设计出比传统光子晶体更宽或更窄的带隙结构.

1 光在一维函数光子晶体中的运动方程

对于函数光子晶体, 介质层的折射率为随空间位置变化的周期函数, 一维函数光子晶体对应介质层的折射率为n(z). 当光在一维光子晶体中二维空间传播时, 其运动轨迹在xz平面上. 入射光波照射在A点, 曲线AB和BC分别表示光的入射路径和反射路径, 如图1所示.

图1 光在函数光子晶体中任意层的传播路径Fig.1 Path of light transmission in arbitrary middle medium

由费马原理可得

(1)

在二维传播空间中的线元ds为

(2)

(3)

方程(3)即为光在一维光子晶体中二维空间传播的运动方程.

2 单介质层中传输矩阵的推导

图2 光在折射率为n(z)的介质层中传播时的电磁场分布Fig.2 Distribution of electromagnetic field when light transmits in the medium with refractive index n(z)

由电磁场在介质分界面处的边值关系可知, 在分界面的切向方向上电场强度和磁场强度是连续的, 因此在界面Ⅰ两侧切向方向上的电场强度和磁场强度分别为

(4)

在界面Ⅱ两侧切向方向上的电场强度和磁场强度分别为

(5)

电场强度Et1和Ei2分别为

(6)

(7)

其中xA和xB分别为A和B在x轴方向上的坐标分量.

将方程(3)两边积分可得

(8)

(9)

将方程(9)代入方程(7)可得

Et1eiδb,

(10)

其中

同理可得

(11)

(12)

其中

(13)

3 一维函数光子晶体中传输矩阵的推导

由半个周期的M矩阵可得介质层B和A构成一个周期的M矩阵为

(14)

对N个周期的光子晶体特征方程为

(15)

其中M=MbMaMbMa…MbMa为一维函数光子晶体的传输矩阵.

4 一维函数光子晶体的反射率、 透射率和色散关系

根据第一个界面和第N+1个界面上的电磁分量方程, 由方程(15)可求出一维光子晶体的透射系数、 透射率、 反射系数和反射率, 分别为:

透射系数

(16)

透射率

T=t·t*;

(17)

反射系数

(18)

反射率

R=r·r*.

(19)

根据Bloch定理, 有

(20)

其中:d=b+a;k为Bloch波矢. 从而有

(21)

由方程(21)有非零解条件可得

(22)

方程(22)即为一维周期性结构函数光子晶体的色散关系.

5 数值分析

本文选取函数光子晶体的折射率分布函数为

(23)

图4 当入射角θ=π/3, A1=30, A2=0.3时的函数 光子晶体色散关系和透射率曲线Fig.4 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=π/3, A1=30 and A2=0.3

图5 当入射角θ=5π/12, A1=0.001, A2=1.3时的函数 光子晶体色散关系和透射率曲线Fig.5 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=5π/12, A1=0.001 and A2=1.3

综上,本文提出一种新型函数光子晶体,其折射率为空间位置函数.由费马原理给出了光在一维函数光子晶体中的运动方程,并利用光的传输矩阵理论计算了一维函数光子晶体的色散关系、带隙结构和透射率,得到了比常规光子晶体更宽或更窄的禁带结构.

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