区间不确定系统迭代学习控制的单调收敛性

李宏胜 刘 娣 滕福林 黄家才 张建华

南京工程学院，南京，211167

0 引言

许多运动控制系统需进行沿某轨迹的重复运动，例如数控机床沿一定的轨迹重复加工零件，机械手重复执行某一运动过程。通常的控制算法并未考虑此类运动的重复特性，每一次运行跟随误差都重复产生，跟踪精度不高。而且由于控制对象存在非线性因素且模型具有不确定性，因而使得设计高性能的常规控制器较为困难。迭代学习控制是一种较新的智能控制方法，它首先由Arimoto［1］提出并应用于机械手的控制中。近年来迭代学习控制理论体系越来越成熟［2］，应用日益广泛。

迭代学习控制的基本思想是，通过学习每次运动的误差，对控制量进行前馈修正，从而在下次运动时提高运动的精度。它不需要精确的系统模型，对系统的未建模特性具有一定的鲁棒性，实时计算量小，在一定的条件下可保证迭代收敛。迭代学习控制通常要求运动轨迹、初始条件和系统特性具有重复性，并要有足够的存储器来存储上次运动控制的信息［3－4］。

概率方法、模糊方法和区间方法是目前不确定性建模的三种主要方法。概率方法和模糊方法均需要有足够的数据来分别确定不确定结构参数的概率密度或隶属度函数，区间方法是把这些不确定性结构参数视为未知变量，并在具有已知边界的区间内取值。参数区间不确定性迭代学习控制系统收敛性的研究主要集中在稳定性（asymptotic stability）和单调收敛性（monotonic convergence）上。本文讨论了参数区间不确定性迭代学习控制系统（IILC）的单调收敛性问题。

1 迭代学习控制的单调收敛性

z传递函数描述的离散线性时不变系统为

其中，hi为H（z）的Markov参数，理想输出信号为yd（t），第k次迭代学习控制的输入、输出分别为uk（t）、yk（t），ek（t）＝yd（t）－yk（t），t为离散时间变量，t∈ ［0，N］。

定义超向量（Supervectors）［5-9］：

则Yk＝HpUk，其中Hp为由系统Markov参数组成的N×N矩阵：

迭代ILC算法的目标是根据第k次及以前的信息计算出第k＋1次的控制输入uk＋1，使其收敛至u＊（t），并使得ek（t）＝yd（t）－yk（t）收敛到零。超向量法（supervector）将二维（时间轴、迭代轴）问题转换为一维多输入多输出问题。超向量表达的一般迭代学习控制为

上述学习矩阵L的不同选择方法对应不同的ILC学习算法，显然，当γij＝0（i≠j）、γij＝γ（i＝j）时为Arimoto算法。

定义T为列向量h＝（h1，h2，…，hN）T到下三角阵Hp的Toeplitz变换，即Hp＝T（h）。

设l＝［k1，k2，…，km，0，0，…，0］T∈RN×1，m为ILC算法的阶次，取L＝T（l）为ILC算法学习矩阵。

考虑离散高阶ILC算法（式（2）），则

因此，ILC单调收敛的充分必要条件为相应的范数小于1，即

2 区间鲁棒迭代学习控制的单调收敛性

对于区间矩阵集合：

其顶点矩阵集合：

对区间鲁棒迭代学习控制系统稳定性和单调收敛性的讨论即为对给定的HIp进行讨论。显然，对Arimoto型迭代学习控制，稳定性的充要条件为

对一般区间鲁棒迭代学习控制，设P＝I－Hp⊗L，则其稳定性的充要条件为PI＝I－HIp⊗L的谱半径小于1。而区间矩阵PI＝I－HIp⊗L的谱半径为P∈Pv的某个谱半径。

时区间鲁棒迭代学习控制系统l∞范数意义单调收敛，其中，Hv为Markov顶点矩阵。对离散高阶ILC算法（式（2）），PD型ILC算法（m＝2）为［6］

3 数字仿真研究

图1 系统脉冲传递函数（a＝0.80）

图2 系统脉冲传递函数（a＝0.72）

图3 系统脉冲传递函数（a＝0.55）

对上述区间不确定系统a ∈ ［0.55，0.80］，采用式（5）离散二阶ILC算法：

（1）选取控制参数k1＝0.90、k2＝－0.59［6］，当a＝0.80（上界）时，‖I－HpL‖∞＝0.28＜1，其输出轨迹及轨迹误差范数如图4、图5所示。可见，迭代学习控制取得了良好的单调收敛性能。当a＝0.72时，‖I－HpL‖∞＝0.46＜1，其轨迹误差范数如图6所示。 当a＝0.55（下界）时，‖I－HpL‖∞＝1.07＞1，其轨迹误差范数如图7所示。可见，当参数区间变化至下界时，不满足式（4）条件，迭代学习控制不满足单调收敛的要求。

图4 随迭代次数增加，系统输出曲线

图5 随迭代次数增加，误差范数的变化

图6 随迭代次数增加，误差范数的变化

图7 随迭代次数增加，误差范数的变化

（2）选 取k1＝0.80、k2＝－0.59，当a ＝0.80（上界）时，‖I－HpL‖∞＝0.41＜1，其输出轨迹及轨迹误差范数如图8、图9所示。当a＝0.72，‖I－HpL‖∞＝0.34＜1，其输出轨迹及轨迹误差范数如图10所示。当a＝0.55（下界）时，‖I－HpL‖∞＝0.746＜1，其轨迹误差范数如图11所示。可见，当参数取上下界时，均满足式（4）条件，迭代学习控制满足区间单调收敛的要求。

图8 随迭代次数增加，系统输出曲线

图9 随迭代次数增加，误差范数的变化

图10 随迭代次数增加，系统输出曲线

图11 随迭代次数增加，误差范数的变化

4 结语

本文研究了区间不确定离散线性时不变系统的鲁棒迭代学习控制（IILC）算法的单调收敛性，并针对常见的离散PD型ILC算法，给出了在l∞范数意义下区间不确定性迭代学习控制系统单调收敛性的判断方法。仿真实例说明，当Markov参数组成的顶点矩阵满足单调收敛性条件时，区间不确定系统的迭代学习控制具有鲁棒单调收敛性。

［1］Arimoto S，Kawamura S，Miyazaki F.Bettering Operation of Robots by Learning［J］.Journal of Robotic Systems，1984，1（2）：123－140.

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［4］许顺孝，扬富文.不确定线性系统迭代学习控制器的设计［J］.控制理论与应用，2002，19（4）：650－652.

［5］Chen Yangquan，Moore K L.An Optimal Design of PD－type Iterative Learning Control with Monotonic Convergence［C］／／Proceedings of the 2002IEEE International Symposium on Intelligent Control.Vancouver，Canada，2002：27－30.

［6］李宏胜.离散系统单调收敛高阶迭代学习控制［J］.机械工程学报，2006，42（6）：72－76.

［7］Moore K L，Chen Yangquan.On Monotonic Convergence of High Order Iterative Learning Update Laws［C］／／2002IFAC 15th Triennial World Congress.Barcelona，Spain，2002：21－26.

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［9］Moore K L.Multi－loop Control Approach to Designing Iterative Learning Controllers［C］／／Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision＆Control.Tampa，Florida，USA，1998：666－671.