“再创造”思想在数学教学中的应用

傅钦志

摘 要：在数学教学中运用“再创造”思想可较好地培养学生的创新思维。在其实际应用中，可通过：改变问题情景，对例题进行再创造；关注数学现实，对概念进行再创造；补充教材内容，对公式进行再创造；利用变式训练，对习题进行再创造；开展探究教学，对学习方法进行再创造。

关键词：数学教学；再创造；教学原则；数学思想；思维活动

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）09-0051-03

“再创造”教学是以荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔为代表所倡导的教学原则。弗赖登塔尔认为：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”活动，也就是说，由学生本人把学习的东西自己实现或创造出来，教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，就在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力。“再创造”教学原则是在充分肯定学生是学习主体的前提下，注重激发学生的学习动机，使学生在老师的指导下积极主动地参与知识的发现，亲身体验知识创造的经历，从而达到培养学生的创造能力，使所学的知识达到内化的目的。“再创造”教学原则的运用，强调的是学生的自主性和创造性，注重的是学习方法的迁移和认知结构的拓展，使原来仅停留在思维层面的训练提升到了促进素养层面的发展，在实施素质教育的今天，显得尤其必要。下面笔者结合自己的教学实践谈谈在数学教学中如何运用“再创造”思想。

一、改变问题情境，对例题进行再创造

新课标指出：“教师不能只成为课程实施的执行者，应该成为课程的建设者”；教材不是唯一的课程资源，教师应该“用教材教，而不是教教材”。作为日常教学蓝本的教材所承载的数学往往是一种介乎学术形态与教育形态之间的“过渡形态”，有些甚至与学生易于接受的教育形态相去甚远。这就要求教师在努力准确把握教材的基础上，应根据学生的实际认知水平与已有的认知经验、教学条件与环境，适时地对教材进行再创造。在教学中，我们要尽量选择更好的、更切合所教班级学生的教学材料。可根据学生学情的不同，将课本中的例题进行再加工，以实现因材施教。如在人教版必修“简单的线性规划问题”中，教材以引例“工厂日生产安排”这个具体的线性规划问题引入。但这个问题是线性规划问题中的整点问题，对于没有接触过线性规划问题的学生，让其直接研究整点问题有一定难度。该例与学生的认知水平有一定落差。我将此题改为股票问题：“某投资人打算投资甲乙两种股票，甲乙股票可能的最大盈利率分别为50%和100%，可能的最大亏损率分别为10%和30%。若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对两种股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？”股票问题是当今现实生活中的热门话题之一，学生感兴趣；同时它又是一个比较简单的线性规划问题，借此清楚地阐述线性规划问题的有关概念，学生能够较好地理解接受。

二、关注数学现实，对概念进行再创造

每个学生都有自己的“数学现实”，其中包括每个学生所接触的客观世界中的数学规律以及有关这些规律的数学知识结构。在概念教学中，“再创造”教学应该充分关注学生的“数学现实”，根据学生实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，才能收到实效。例如，在学习“两条异面直线所成的角”这一概念的教学中，教师提出问题：空间不重合的两条直线的位置关系有哪几种？由平面几何知识已知：两条相交直线的相互位置关系是用它们所成角的大小来描述的，两条平行直线的相互位置关系是用它们的距离来描述的（学生已有的“现实”），那么两条异面直线的相互位置关系应该用怎样的量来描述呢？通过动态演示，说明要刻画两条异面直线的位置，不仅涉及“角”，同时还要涉及“距离”。那么，如何寻找一个合适的几何量来刻画两条异面直线的倾斜程度和远近程度呢？由此引出课题，学习“两条异面直线所成的角”。引入过程：①两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交，哪来的“角”呢？如何规定两条异面直线所形成的角呢？②能否找出两条相交直线所形成的角来表示两条异面直线所形成的角呢？用动画给予演示：在空间任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b， a′与b′所成的锐角（或直角）就是a，b所成的角吗？③a与b所成的角与点O的位置选择有关吗？为什么？启发学生根据等角定理，说明这些角都相等。因此，这样作出的角是唯一的。④根据上面②、③说明两条异面直线所成的角的大小，是由这条异面直线的相互位置关系决定的，与角的顶点O的位置的取法无关，即这个量是存在的、唯一的。⑤现在我们可以总结出两条异面直线所成的角定义，请同学们总结一下，该怎样定义？然后对比课本中的定义。以上教学是从学生已有的“数学现实”出发，重视概念的形成过程，让学生理解概念形成的背景与思想，而不是将一个现成的定义强加给学生，它是对概念进行“再创造”的教学过程。

三、增加探索空间，对公式进行再创造

四、利用变式训练，对习题进行再创造

改变求解条件，可得：

同时改变求解条件和结论，可得：

进一步地，将上题中的垂直条件去掉，即∠F1PF2为钝角或锐角时，那么△F1PF2的面积又是多少呢？如：

把原题中的焦点改为x轴上一般的关于原点对称的点，得到：

若将椭圆的方程一般化，得出：

以上从习题的特征出发，对其作适当引申、推广、探索、创新，寻求一般方法、规律。通过上述研究题目训练，激发学生的创新思维，有利于提高学生的素质。新时期的数学教师，必须不断转变教育思想、理念，与时俱进，勇于开拓，把培养创新人才作为我们的教育目标，将创新教育落实到课堂中去，让我们的学生不仅会继承，更能发展、创新。

五、开展探究活动，对学习方法进行再创造

数学思维问题是数学教学中的核心问题。要使学生掌握数学知识并培养能力，发展智力，就不仅需要学习数学知识本身，更重要的是学习获得这些知识的思想和方法。高中数学课程应力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。教学中我着重从以下两个方面进行了尝试：一是通过类比联想培养学生的“再创造”意识。例如，在立体几何学习的初期，学生的空间想象能力比较差，为了培养他们的空间想象能力，我让学生研究了如下一组问题：题组1一条直线最多将平面分成几部分？二条直线最多将平面分成几部分？三条直线最多将平面分成几部分？n条直线最多将平面分成几部分？

题组2一个平面最多将空间分成几部分？二个平面最多将空间分成几部分？三个平面最多将空间分成几部分？n个平面最多将空间分成几部分？

题组2类比题组1进行研究，这种类比是一种形式上和思想方法上的类比，通过类比研究，学生不仅巩固了已有的知识，而且得到了新的结论。在研究的过程中，他们体会到了数学新知识和新结论产生的过程，并学习到了“创造”新的数学知识的方法和途径。

二是渗透化归思想。化归思想是数学思想方法体系中的精髓。把一个复杂的、陌生的、未知的问题转化为简单的、熟悉的、已知的问题来解决的思想称为化归思想。化归是人类探索未知、认识世界的一种重要思想方法。中学数学中，如代数中的多元到一元，高次到低次；几何中空间到平面，高维到低维，曲线到直线；微积分中无限到有限，多元积分到一元积分等，无不蕴含着化归的思想。数学教学中，针对学生认知结构特点逐步渗透化归思想，对增强学生创造性学习知识的能力和培养学生的创造思想都具有重要作用。

例如，已知x2+y2=4，求3x+4y的最小值。学生经过自主探究、小组讨论，充分利用化归思想方法，得出了以下五种解法。

解法1 按常规思想，要讨论一个函数的最大（小）值，首先应减少变量个数，此题若从x2+y2=4入手，解出x或y，代入3x+4y，则可用导数的方法求出最小值。

解法2 令3x+4y=t，与x2+y2=4联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，用判别式法讨论t的取值范围，从而求出最小值。

教师要着重启发学生从不同角度认识问题的本质，培养学生多角度思考问题的习惯，多角度地理解和掌握各部分知识和联系，使学生的思维向灵活多变的方向发展，这样才能使学生的思维活动打破常规，自己提出解决问题的方法，通过这样的再创造，能提高和发展学生思维的独创性。

总之，教师要用“创造性的教”为学生“创造性地学”创造环境和条件，让学生参与探索、发现、研究的过程，并在这一过程中激发学生发现和创造的兴趣，让学生体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

参考文献：

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