关于A－子空间性质的初步探讨

黄娟霞

(陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县742500)

关于A－子空间性质的初步探讨

黄娟霞

(陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县742500)

高等代数中对于子空间性质的讨论比较详细，但对于A－子空间却只给出一些概念性的表层描述.对于学习者来说，非常关注A－子空间作为特殊的子空间，除了具有类似于子空间的性质以外，又具有哪些区别于子空间的性质.本文从这个思路出发，全面深刻的讨论了A－子空间的性质.

子空间;A－子空间;向量空间;线性变换

在高等代数中，为了解决线性变换对角化的问题而提出了A－子空间的概念.

定义1设A是数域F上向量空间V的线性变换，W是V的子空间.如果W中的向量在A下的像仍在W中，换句话说，对于W中任意向量ξ，有Aξ∈W，我们就称W是A的不变子空间，简称A－子空间［1］.下面讨论A－子空间的性质.

定理1如果W是域F上向量空间V的一个子空间，则W是数乘变换的不变子空间(K－子空间).

证明设∀α∈W，k∈F，由于W是域F上向量空间V的一个子空间，所以kα∈W，即W是数乘变换的不变子空间(K－子空间).

定理2设A是向量空间V的线性变换，如果W1，W2都是A－子空间，则W1+W2、W1∩W2也是A－子空间.

证明首先证明W1+W2是A－子空间.

设∀α∈W1+W2，即α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2，于是Aα=A(α1+α2)=Aα1+Aα2，又因为W1，W2都是A－子空间，所以Aα1∈W1，Aα2∈W2，即Aα1∈W1+W2，因此，W1+W2是A－子空间.

同理可证W1∩W2是A－子空间.

定理3设A、B都是向量空间V的线性变换，如果W既是A－子空间，又是B－子空间，则W是(A+B)－子空间，(AB)－子空间.

证明首先证明W是(A+B)－子空间.

设∀α∈W，因为W既是A－子空间，又是B－子空间，所以Aα∈W，Bα∈W，则(A+B)(α)=Aα+Bα∈W，故W是(A+B)－子空间.

同理可证W是(AB)－子空间.

定理4设A是向量空间V的一个线性变换，如果W是A－子空间，则W是A2－子空间.

证明设∀α∈W，由于W是A－子空间，所以Aα∈W，故A2α=A(Aα)∈W.因此W是A2－子空间.

定理5设A是有限维向量空间V的可逆线性变换，设A可逆，如果W是A－子空间，则W是A－1－子空间［2］.

证明当W=V或W={0}时，结论显然成立.

当dimW=r，dimV=n，且0 ＜r＜n时，任取W的一组基α1，α2，…，αr，由于W是A－子空间，且A可逆，所以Aαi=β∈W，(i=1，2，…，r).

下证β1，β2，…，βr也是W的一组基，因为令x1β1+x2β2+ … +xrβr=0，则A－1是V的线性变换，且

再由α1，α2，…，αr线性无关，所以x1=x2=… =xr=0.

此即β1，β2，…，βr也是W的一组基.∀α∈W，则α=l1β1+l2β2+ … +lrβr，

A－1(α)=l1A－1(β1)+l2A－1(β2)+… +lrA－1(βr)=l1α1+l2α2+… +lrαr∈W，即证W是A－1－子空间.

定理6设A是向量空间V的线性变换，那么ImA、KerA是A－子空间［3］.

定理7设A、B都是向量空间V的线性变换，如果A与B可交换，那么KerB、ImB，B的特征子空间都是A－子空间.

证明任取β∈KerB，则Bβ=0，于是B(Aβ)=(BA)β=A(Bβ)=A0=0.因此Aβ∈KerB.从而KerB是A－子空间.

任取γ∈ImB，则存在α∈V，使得Bα=γ，又AB=BA，从而

因此Aγ∈ImB.从而ImB是A－子空间.

在B的特征子空间Vλj中任取一向量ξ，则Bξ=λjξ.

从而B(Aξ)=(BA)ξ=(AB)ξ=A(Bξ)=A(λjξ)=λjAξ.因此，Aξ∈Vλj，故Vλj是A－子空间.

推论8设A是域F上向量空间V的线性变换，f(x)∈F(x)，则KerF(A)、Imf(A)、f(A)的特征子空间都是A－子空间.

定理9设A是向量空间V的线性变换，ξ∈V，且ξ≠0，则L(ξ)是A－子空间当且仅当ξ是A的一个特征向量［4］.

证明必要性 设L(ξ)是A－子空间，即∀ξ∈V，有Aξ∈L(ξ)，从而存在λ0∈F，使得Aξ=λ0ξ.因此ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.

充分性设ξ是A的一个特征向量，则Aξ=λ0ξ，从而A(kξ)=kAξ=kλ0ξ∈L(ξ)，因此L(ξ)是A－子空间.

定理10设A是向量空间V的线性变换，W=L(α1，α2，…，αr)是V的子空间，则W是A－子空间当且仅当Aαi∈W，i=1，2，…，r.

［1］北京大学数学系.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］钱吉林.高等代数题解精粹［M］.北京:中央民族大学出版社，2002.

［3］刘仲奎，杨永保，等.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［4］樊恽，钱吉林，等.代数学辞典［M］.武汉:华中师范大学出版社，1996.

G642.41

A

1003-8078(2012)03-0031-02

2012-04-23 doi10.3969/j.issn.1003-8078.2012.03.09

黄娟霞，女，甘肃秦安人，讲师，主要从事高等代数的教学与研究.

(张所滨)