捕捉高考共鸣点 把握高考新动向——高考整数题盘点

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(浬浦中学 浙江诸暨 311824)

捕捉高考共鸣点把握高考新动向——高考整数题盘点

●王苏文

(浬浦中学 浙江诸暨 311824)

很多省份都实行了高考独立命题，各省的高考试卷中常出现一些共鸣点，如2011年的高考卷中有几份试卷都出现了有关整数问题的试题.整数问题在高中数学竞赛中经常遇到，在高考试卷中出现较少.在这么多的省份中尤为突出的是陕西省和安徽省，陕西省已连续2年出现与整数有关的试题，安徽省同一份试卷出现了2道与整数有关的试题，着实让高考试题在横向、纵向上都形成了共鸣.根据这些高考整数题，笔者大致将其分为3类：整点类、方程类、条件类.

1 整点类

整点类问题在解析几何中是一种常见题型，如直角坐标系下的整数点、线性规划中符合条件的整数解等.整点具有特殊性，我们正好利用这个特殊性进行解答，如排除法.

例1设A(0，0),B(4，0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的值域为

( )

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

(2011年北京市数学高考理科试题)

例2在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是____________(写出所有正确命题的编号).

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过2个不同的整点；

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是k与b均为有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线.

(2011年安徽省数学高考理科试题)

分析考查直线方程，同时也考查了逻辑推理能力，难度较大.

y1-y2=k(x1-x2)，

故点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上,即直线y=kx经过无穷多个整点.将y=kx上下平移得到y=kx+b，从而直线y=kx+b也经过无穷多个整点，故③正确.

因为k与b都是有理数,所以直线y=kx+b不一定经过整点，故④错误.

例3设实数x,y满足不等式组

若x,y为整数，则3x+4y的最小值是

( )

A．14 B．16 C．17 D．19

(2011年浙江省数学高考理科试题)

图1

分析该题考查线性规划中的最优问题，与一般题目的区别是x与y均取整数.如图1所示，可画出不等式所在的区域，不难看出3x+4y在(4，1)处取到最小值.故选B.

点评此类整点问题常可采用网格法(直角坐标系下画出网格)、平移调整法(平移至对应的最优位置)、估算法(取一些特殊量进行计算)得到正确的结论.

2 方程类

方程类问题通常与方程有关，针对不同的问题，如何进行合理转化是关键，往往先要了解求根的过程，然后再去挖掘解决问题的方法.

例4设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________．

(2011年陕西省数学高考理科试题)

分析该方程要求整数根，且方程的各个系数均为整数，故判别式必须为完全平方数才可能成立.可直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数与整除进行判断和计算.

解由求根公式得

又因为n∈N+，可取n=1,2,3,4，验证可知，n=3,4符合题意；反之当n=3,4时，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.故所求n的值为3,4.

变形已知函数f(x)=ax2+(4a+2)x+4a-6，则使函数f(x)至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于

( )

A．8 B．20 C．26 D．28

(该题除了采用例4的方法之外，还可用数形结合、反解a求x的范围等方法求解.)

(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值为-5，求f(x)的解析式;

(2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值(注：区间(a,b)的长度为b-a).

(2011年江西省数学高考文科试题)

分析第(1)小题略.第(2)小题的实质是f′(x)=0的2个实数根的差为整数，但不等价于2个根为整数，故求解中不能混淆.

f′(x)=x2+2mx+n<0.

由于递减区间的长度是正整数，故可设f′(x)=x2+2mx+n=0的2个实数根为a,b(b>a)，由韦达定理得

区间长度

因为m,n∈N+，m+n<10，且b-a为整数，所以

点评求解此类问题的关键是抓住方程根的思想，满足整数所需条件该如何进行转化，结合平时所学整数解的有关方法进行解答.

3 条件类

条件类问题所给条件中的一些量是整数，要求在解答过程注意量所取的范围，有时正因为条件的特殊性，使问题得以简化.

例6命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是

( )

A．所有不能被2整除的数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数都是偶数

D．存在一个能被2整除的数都不是偶数

(2011年安徽省数学高考理科试题)

分析该题考查全称命题的否定.把全称量词改为存在量词，并把结果否定.故选D.

例7设S是整数集Z的非空子集，如果任意a,b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的2个不相交的非空子集，T∪V=Z且任意a,b,c∈T,有abc∈T；任意x,y,z∈V,有xyz∈V，则下列结论恒成立的是

( )

A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的

B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的

C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的

(2011年广东省数学高考理科试题)

分析该题主要考查基本逻辑、推断能力，可用排除法判断.故选A.

例8设m，k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间(0,1)内有2个不同的根，则m+k的最小值为

( )

A．-8 B．8 C．12 D．13

(2011年重庆市数学高考理科试题)

分析该题前半部分考查二次方程根的分布为主，后半部分考查类似于线性规划中的整点问题.

解由题意得到下列不等式组

且m,k为大于0的整数，求m+k的最小值.可利用整点类问题的求解方法进行解答.余下部分略，答案为D.

例9某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选1名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

( )

(2010年陕西省数学高考理科试题)

分析该题的关键是取整的处理.

方法1特殊值法.令x=56,y=5,排除选项C，D；令x=57，y=6,排除选项A.故选B.

方法2设x=10m+α(0≤α≤9).

当0≤α≤6时，

当6<α≤9时，

点评求解此类问题的关键是如何对不可忽视的条件进行转化和应用.这类题目可利用条件的特殊性(整数)取特别元素进行判断，故常可用排除法求解.

在本文中例举的高考整数类问题只是一个契机，关键是从高考卷中去发现问题，找出试卷的共鸣点，为今后的高考复习提供一个新的方向，但切不可盲目地去挖掘，要做到不离教材，不离大纲.