渐近非扩张型映像的黏性三步迭代序列强收敛性＊

董家帅， 王元恒， 罗红平

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

渐近非扩张型映像的黏性三步迭代序列强收敛性＊

董家帅， 王元恒， 罗红平

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

在一致凸Banach空间中，研究了渐近非扩张映像不动点的黏性三步迭代法，证明了在一定条件下该迭代序列强收敛于T的不动点，从而改进和推广了近代相关的一些结果.

渐近非扩张映像;不动点;三步迭代序列;黏性

1 预备知识

设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间，J：E→2E*是由下列定义的正规对偶映像：

用U={x∈E：‖x‖=1}表示E中的单位球面，称E为具有Gateaux可微范数，如果极限

对每一x，y∈U均存在;称E为具有一致Gateaux可微范数，如果对于每一个y∈U，上述极限是一致存在的.E的光滑模定义为

定义1设D是实Banach空间E的非空有界闭凸子集，T和f：D→D为映像，F(T)表示T在D的不动点集.

2)称映像f：C→ C为具有一压缩常数α∈(0，1)的压缩映像，如果对任意的x，y∈C，有

用ΠC表示定义在C上的所有压缩映像f的集合.为了证明本文的主要结果，还需要下列重要引理：

引理1［6］设{xn}，{yn}是 Banach空间 E中的2个有界序列，{α}是［0，1］中的一实数列，满足

引理2［7］设E是具有一致Gateaux可微范数的实Banach空间，而C是E的非空闭凸子集，令{xn}

n是E的有界序列，且令un是序列{xn}的Banach极限，z∈C，则un‖xn-z‖2‖x-y‖2当且仅

当 un〈y-z，J(xn-z)〉≤0，∀y∈C.

引理3［7］设 α 是实数且使得对所有 Banach 极限都有≤α.若≤0，则

引理4［6］设E是实 Banach空间，J：E→2E*是正规对偶映像，则对∀x，y∈E及对∀j(x+y)∈J(x+y)，有

引理5［4］设{αn}是一非负实数列，使得

其中：{μn}是(0，1)中的一数列;{δn}是 R 中的一数列，满足

2 主要结果

定理1设E是一致Gateaux可微的Banach空间，C是E非空有界闭子集，T：C→C是具有不动点的渐近非扩张映像且kn≥1，(kn－1) ＜+∞，F(T)≠Ø，设f：C→C是具有一压缩常数α(α∈(0，1)) 的压缩映像且 f∈ ΠC，设{αn}，{βn}，{γn} 是3 个属于(0，1) 中的实数列，满足：

则由式(1)定义的迭代序列{xn}强收敛于T的不动点p∈F(T)的充分必要条件是

证明 首先证明{xn}有界.取p∈F(T)，则

由式(2)～式(4)及归纳法得到

其中：an=(kn-γnkn+γn)，an→1(n→ ∞);bn=［(1-βn)kn］(kn-γnkn+γn)+βn，bn→1(n→ ∞);a=sup{bn}，b=inf{bn}=1.故{xn}是有界的，因此，{yn}，{zn}，{f(xn)}，{Tnxn}也是有界的.

必要性 若xn→p，则由{xn}，{Tnxn}有界和定理1的条件3)、迭代格式(1)中的第1个等式得

定义xn+1=lnxn+(1-ln)wn，计算得到

由T是渐近非扩张映像得

由引理1知

第3步证明xn→p.利用引理4得到

因此，

其中：μn=，且存在有 M2＞0，使得‖xn－ p‖2≤M2.同时，容易得出

所以由引理5得，当n→∞ 时，xn→p.定理1证毕.

本文证明了渐近非扩张映像的黏性三步迭代序列强收敛性，所得结果改进和推广了近代一些相关的结果，如文献［3-5］等.

［1］Xu Benlong，Noor M A.Fixed-point iterations for asymptotically nonexpansive mappings in Banach spaces［J］.J Math Anal Appl，2002，267(2)：444-453.

［2］高改良，周海云.Banach空间中一类映像的三重迭代法［J］.应用泛函分析学报，2011，31(1)：91-94.

［3］Yao Yonghong，Chen Rudong，Yao J C.Strong convergence and certain control conditions for modified Mann iteration［J］.Nonlinear Anal，2008，68(6)：1687-1693.

［4］Qin Xiaolong，Su Yongfu，Shang Meijuan.Strong convergence of the composite Halpern iteration［J］.J Math Anal Appl，2008，339(2)：996-1002.

［5］杨柳，王元恒.修正混合的Halpern三步迭代序列的强收敛性［J］.南阳师范学院学报，2010，9(6)：1-4.

［6］宣渭峰，王元恒.双复合修正的Ishikawa迭代逼近非扩张映像不动点［J］.浙江师范大学学报：自然科学版，2009，32(4)：401-405.

［7］Song Yisheng.A new sufficient condition for the strong convergence of Halpern type iterations［J］.Appl Math Comput，2008，198(2)：721-728.

Strong convergence of the viscosity three-step iterative sequences for asymptotic noexpansive mappings

DONG Jiashuai， WANG Yuanheng， LUO Hongping

(College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua Zhejiang 321004，China)

A new viscosity three-step iterative method for the fixed points of asymptotic noexpansive mappings was given in uniformly convex Banach spaces.A strongly convergent theorem for this kind of iterative sequences was obtained.The results extended some recent results in literatures obtained by other authors.

asymptotic noexpansive mapping;fixed point;three-step iterative sequence;viscosity

O177.91

A

0 引言

2012-04-11

国家自然科学基金资助项目(11071169);浙江省自然科学基金资助项目(Y6100696)

董家帅(1985-)，男，云南宣威人，硕士研究生.研究方向：非线性泛函分析.

王元恒.E-mial：yhwang@zjnu.cn

1001-5051(2012)03-0241-05

(责任编辑 陶立方)

近年来，Halpern迭代、Mann迭代和Ishikawa迭代方法已向多重的、黏滞的、隐型的等迭代方法发展，并得到了相应的收敛性.例如：文献［1］提出了三步迭代序列的收敛性;文献［2］减弱了其三步迭代序列的收敛条件;文献［3］提出了一个修正的Mann两步迭代格式;文献［4］提出了混合的Halpern三步迭代格式;文献［5］研究了关于非扩张映像的黏性三步迭代序列的强收敛性.本文将进一步研究渐近非扩张映像下的黏性三步迭代序列，并得出相应的结果.对于渐近非扩张映像T，讨论如下的黏性三步迭代格式：并证明了在一定条件下序列{xn}的强收敛性.显然，在式(1)中，令γn=1就变成文献［3］的两步修正迭代序列;令f(xn)=μ就类似于文献［4］的三步混合Halpern迭代序列;当渐近非扩张映像T为非扩张映像时，就变成文献［5］的黏性三步修正迭代序列.因此，本文推广了近代相应的一些结果.