几何、调和平均组合的最佳广义对数平均界＊

张 帆， 钱伟茂

(1.湖州职业技术学院，浙江湖州 313000;2.湖州广播电视大学，浙江湖州 313000)

几何、调和平均组合的最佳广义对数平均界＊

张 帆1， 钱伟茂2

(1.湖州职业技术学院，浙江湖州 313000;2.湖州广播电视大学，浙江湖州 313000)

应用初等微分学知识，对几何平均、调和平均的几何组合与广义对数平均进行了比较，解决了如下问题：对于 α∈(0，1)，使双向不等式 Lp(a，b)≤Gα(a，b)H1－α(a，b)≤Lq(a，b)对所有的 a，b ＞0 成立的最大 p 和最小q分别是多少?

不等式;广义对数平均;几何平均;调和平均

对固定的a，b＞0和a≠b，Lp(a，b)关于p∈R是连续和严格递增的.特别地，文献［1-9］从广义对数平均Lp(a，b)中发现了许多著名的不等式.广义对数平均甚至在经济学、物理学、气象学中也有应用［10-12］.若记2个正数a，b的算术平均、几何平均、指数平均、对数平均和调和平均分别为A(a，b)=则有著名的不等式

文献［13-15］得到了如下不等式：

对所有 a，b＞0，a≠b成立.

1986 年，Alzer证明了如下不等式［16］：

对所有 a，b＞0，a≠b成立.

下面2个结论由Alzer等［17］给出：

定理1［17］不等式

定理 2［17］设 a，b 是实数且 a≠b.若0 ＜a，b ＜e，则

若 a，b≥e，则

本文的目的是解决如下问题：对于α∈(0，1)，使双向不等式

对所有a，b＞0成立的最大p和最小q分别是多少?

1 引理

引理1当t＞1时，设f(t)则

证明 由f(t)的定义得：

式(3)中：

由式(2)～式(6)和式(8)可知，当t＞1时，f(t)＞0.

由式(2)～式(6)和式(9)可知，当t＞1时，f(t)＜0.引理1证毕.

引理2当t＞1时，设h(t)=则

证明 由h(t)的定义得：

式(11)中：

由式(10)～式(13)及式(15)知，当t＞1时，h(t)＜0.

由式(10)～式(13)及式(16)知，当t＞1时，h(t)＞0.

2 主要结果

定理3若 α∈(0，1)，则对所有 a，b＞0，有：

2)若 a=b，则由式(1)得，对∀α∈(0，1)，

由引理1得：

情形1α∈对∀ε∈(0，1)，∀x∈(0，1)，由式(1)得

式(17)中，

设x→0，利用泰勒展开式得

情形2α∈对于∀ε∈(0，4 －3α)，∀x∈(0，1)，由式(1)有

式(21)中，

设x→0，利用泰勒展开式，有

另一方面，对于∀ε＞0，有：

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Optimal generalized logarithmic mean bounds for the combination of geometric and harmonic means

ZHANG Fan1，QIAN Weimao2

(1.Huzhou Vocational＆ Technical College，Huzhou Zhejiang 313000，China;2.Huzhou Broadcast and TV University，Huzhou Zhejiang 313000，China)

It was compared the generalized logarithmic mean with the geometric combination of geometric and harmonic means by the elementary differential calculus.It was discussed for α∈(0，1)，the greatest value p and the least value q，such that the inequality Lp(a，b) ≤Gα(a，b)H1－α(a，b) ≤Lq(a，b)held for all a，b＞0.

inequality;generalized logarithmic mean;geometric mean;harmonic mean

O178

A

0 引言

2012-04-27

浙江广播电视大学2009年度科学研究课题(XKT09G21);湖州市自然科学基金资助项目(2012C50008)

张 帆(1977－)，男，浙江湖州人，讲师.研究方向：不等式理论及应用.

1001-5051(2012)03-0252-06

(责任编辑 陶立方)

对于p∈R，关于2个正数a，b的广义对数平均定义为