一类热传导方程区域分解简易算法

尹永学， 朴光日

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

一类热传导方程区域分解简易算法

尹永学， 朴光日

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

讨论了一类求解一维热传导方程区域分解的简易算法．首先采用4阶精度显格式计算子区域间的内界点值，然后采用θ－scheme在各子区域并行地求出内点值．利用最大值原理得到了误差估计式，并通过具体算例给出了非区域分解情形和区域分解情形下的误差．结果表明，所得数值算法简单方便，适用于精度要求不高的并行计算．

一维热传导方程；区域分解；有限差分；并行计算

0 引言

近年来，多核CPU计算机越来越普及，其计算规模也不断增大．为了有效利用硬件资源解决较大规模的计算问题，人们对简便易行且高效率的数值并行方法进行了研究．Dawson等［1］对热传导方程的区域分解算法做了经典的研究；在此基础上，文献［2－5］在分界点采用Saul’yev非对称格式得到了较好的结果．本文提出另一种求解一维热传导方程区域分解的简易算法，即为了提高在内边界点的精度，在内边界点采用4阶精度显格式，然后在每一时间层的各子区域采用θ－scheme并行地求解内点值．

令u（x，t）为如下热传导方程的解：

在时间层tn－1到tn的计算中，为减少误差在分界点采用了如（3）式的4阶精度显格式（参看文献［6］）．在求得分界点上的值以后，在2个子域可用（4）式完全并行地求得内点值．

1 误差估计

则对各i和n有Zi≤0．

证明 使用数学归纳法．当n＝0时，结论显然成立．现假设对第n－1时间层结论也成立，由（6）式可得

近似值U满足如下先验误差估计：

2 数值实验与结论

例题1 在问题（1）中，若u（x，0）＝u0（x）＝sin（πx），则问题的精确解为u（x，t）＝sin（πx）e－π2t．将例题（取T＝1）分为非区域分解情形和区域分解为2个子域情形进行误差比较．通过表1和表2的数值结果发现，虽然本文的区域分解算法简单易用，而且2种情形都是1阶收敛，但是由于分界点造成的误差比较大，所以虽然在分界点使用了4阶精度显格式算法，其最终误差还是比非区域分解的情形大很多；因此，本文提出的算法较适合于需要并行处理且需要快速开发而对精度的要求不高的情形．

表1 非区域分解情形（θ ＝31/32）

表2 区域分解为2个子域的情形（H＝4h，τ ≤3 H 2/16，θ＝31/32）

［1］ Dawson C N，Du Qiang，Dupont T F．A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation［J］．Math Compt，1991，57：63－71．

［2］ 张宝林，申卫东．热传导方程有限差分区域分解算法的若干注记［J］．数值计算与计算机应用，2002（2）：81－90．

［3］ 吕桂霞，马富明．抛物方程的一类并行差分格式［J］．吉林大学学报：理学版，2002，40（4）：327－330．

［4］ 吕桂霞，马富明．二维热传导方程有限差分区域分解算法［J］．数值计算与计算机应用，2006，（2）：96－105．

［5］ 王婷．热传导方程的一类有限差分区域分解显－隐算法［J］．山东大学学报：理学版，2006，41（5）：20－25．

［6］ Recktenwald G W．Finite－difference approximations to the heat equation［D］．Mechanical Engineering Department Portland State University，2011：1－17．

A simple domain decomposition method for the one－dimensional heat equation

YIN Yong－xue， PIAO Guang－ri
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

A simple finite difference domain decomposition method is proposed．An explicit method is used for solving interface values between subdomains，and then the inner values of subdomains can be solved in parallel usingθ－scheme．Error estimates is derived by maximum principle and errors of domain decomposition case and non domain decomposition case are shown，respectively．The result shows that the obtained numerical method is appropriate for the case of parallel computing，rapid development and of low accuracy requirements．

one－dimensional heat equation；domain decomposition；finite difference；parallel computing

O241．82

A

1004－4353（2012）02－0100－04

2012－01－26

尹永学（1972—），男，讲师，研究方向为数值分析．