基于LMI的磁悬浮永磁直线电动机H∞鲁棒控制器的设计*

蓝益鹏 杨 波

(沈阳工业大学电气工程学院，辽宁沈阳 110870)

以高速度和高精度为基本特征的高速加工技术及其他技术的发展，促进了伺服电动机和伺服驱动器的发展［1］。磁悬浮永磁直线同步电动机兼有永磁电动机和直线电动机的双重优点，并具有非接触、无摩擦、无磨损、环保等特点。总体性能上具有较大优势，在数控机床中具有广阔的应用前景。但是不同于直流旋转电动机可以分别控制励磁控制回路和转矩控制回路，由于励磁电流分量和推力电流分量的相互影响、相互作用，磁悬浮永磁直线同步电动机控制系统成为一个多变量、强耦合的非线性系统［2－3］。

针对控制对象的不确定性，H∞控制作为较为成熟的方法，对抑制扰动具有良好的效果。但加权函数的选取因为无规律可循而使H∞控制理论的应用受到了限制。随着求解凸优化问题的内点法的提出，LMI受到越来越多的关注，许多控制问题可以转化成一个LMI系统的可行性问题，或者是具有LMI约束的凸优化问题［4－6］。本文采用 LMI方法设计 H∞鲁棒控制器，以保证磁悬浮永磁直线电动机控制系统在不确定性扰动时具有良好的鲁棒性。

1 磁悬浮永磁直线同步电动机的数学模型

磁悬浮永磁直线电动机的动子上有两套电气上相互独立的绕组，一套绕组是用于产生电磁推力的推力绕组，另一套绕组是用于调节磁悬浮力的悬浮绕组，专门用于对气隙磁场进行调节，从而改变磁拉力的大小，使永磁直线电动机靠自身产生的磁悬浮力来运行。使数控机床进给平台在直接驱动的同时能够从根本上消除摩擦实现无摩擦进给［7］。

推力绕组中通入三相对称的正弦交流电流，采用id=0的控制策略，使推力绕组产生最大推力。在悬浮绕组中通入三相对称的正弦交流电流，采用iq=0的控制策略，以使悬浮绕组产生可控悬浮力。

假定d、q轴电感Ld=Lq=L。此时动子的电磁推力表达式为

磁悬浮永磁直线电动机的动子处于悬浮状态，与导轨之间无摩擦，其机械运动方程为［8］:

式中:Fl负载阻力;M为动子质量;Fd为端部效应力;Kf为电磁推力系数;v为动子线速度。由分析和实验得到端部效应力简化数学模型为

式中:Fdm为端部效应力波动的幅值;τ为极距;x为动子的直线位移;θ0为与直线电动机定子电磁结构有关的常数。

在此情况下，磁悬浮永磁直线同步电动机的数学模型可描述为

其中:uq、iq分别为q轴动子电压和电流;ψf为永磁体基波励磁磁链;Rs为动子电阻;np为极对数。

2 H∞鲁棒控制器设计

2.1 控制问题的描述

基于H∞控制理论设计控制系统，不论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以归结为求解反馈控制器，使闭环系统稳定，并且从扰动输入w到被调输出z的闭环传递函数阵的H∞范数最小或者小于某一给定值(次优化问题)［9］。

考虑广义被控对象的状态空间实现为:

其中:x∈Rn是状态向量;u∈Rm是控制输入;y∈Rp是测量输出;z∈Rr是被调输出;x∈Rn使外部扰动;A、B1、B2分别为系统矩阵、输入矩阵和干扰矩阵;C1为状态加权矩阵;D12为输入加权矩阵。要求设计反馈控制器使得相应闭环系统:

其中:K为状态反馈矩阵。

是渐近稳定，且闭环传递函数Twz(s)满足:

2.2 基于LMI的磁悬浮永磁直线电动机H∞鲁棒控制器的设计

根据H∞性能指标与线性矩阵不等式的等价性，将设计问题转化为对LMI的求解，进而得到磁悬浮永磁直线电动机系统的状态反馈H∞鲁棒控制器。

基于线性矩阵不等式的H∞状态反馈控制问题的解法通过以下定理求得:

定理1［10］:对于公式(5)所描述的系统，存在一个状态反馈H∞控制器，当且仅当存在一个对称矩阵X和矩阵W，使得以下矩阵不等式成立:

相应的系统状态反馈控制律，若存在可行解X*、W*，则u=Kx=W*(X*)－1x是式(5)系统的状态反馈H∞控制器。

对于给定标量γ＞0，求系统的状态反馈γ次优H∞控制器，使得‖Twz(s)‖∞＜γ，相应的矩阵不等式为

根据磁悬浮永磁直线同步电动机控制系统数学模型式(4)及式(5)设计H∞鲁棒控制器，其中状态方程各参数为

其中:qi≥0，i=1，2，3;ρ＞0，为加权系数。

3 仿真研究

在MATLAB的Simulink环境下，搭建了采用id=0的矢量控制的系统状态反馈仿真模型。如图1所示。系统的额定参数如下:

M=50 kg，Rs=1.687 8 Ω，L=25.92 mH，τ=33 mm，np=3，ψf=0.175 4 Wb。

给定γ=0.8。选取相应参数阵C1、D12为

用MATLAB的LMI工具箱求得:

其中状态反馈阵求得为

通过对系统进行仿真，在没有扰动信号和扰动信号为阶跃信号情况下分别对状态变量:电流iq、速度v和位移S进行跟踪，得到研究结果如图2～4所示。

在有扰动信号的情况下，在t=0.4 s时加载幅值为F=40 N的负载扰动，在t=0.6 s卸去扰动。此时负载扰动函数可定义为

从图中可知系统对不同的扰动信号具有良好的抑制特性。

4 结语

(1)针对磁悬浮永磁直线电动机控制系统中非线性和变量间存在耦合的特点，采用矢量控制中的id=0的方法实现了模型的动态解耦，解耦成独立的线性电流子系统和速度子系统。

(2)根据H∞性能指标与线性矩阵不等式的等价性，将设计问题转化为对LMI的求解，进而得到磁悬浮永磁直线电动机系统的状态反馈H∞鲁棒控制器。

(3)建立了磁悬浮永磁直线电动机控制系统的仿真模型，对不同性质的扰动信号进行了仿真研究，结果表明基于LMI设计的磁悬浮永磁直线电动机控制系统具有良好的跟踪性能和对干扰的抑制性能。

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