完全wrpp半群及其性质

夏 晶，任 秀

(大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712)

0 引言

首先Kilp研究了rpp半群的一个特殊例子，而且证明了S是交换幺半群，并且所有主理想是投射的当且仅当S是交换可消幺半群的强半格[1]。而后Fountain推广了这一结果, 定义了C-rpp(Cliffordrpp)半群，这是Clifford半群在rpp半群范围内的推广[2]。同Clifford半群一样，C-rpp半群在半群构造理论中起着十分重要的作用。人们对以C-rpp半群为核心构建起来的半群类作了大量的研究工作。例如，在文献[3]中，作为Clifford半群在正则半群范围内的推广，讨论了左C-半群(左Clifford半群)；作为C-rpp半群在rpp半群范围内的再推广，文献[4]引进并研究了左C-rpp半群，给出了这类半群的若干等价刻划和半织积结构；在文献[5]中，定义了完全rpp半群，得到了完全rpp半群的一些特征，特别是完全rpp半群的织积结构的建立；在文献[6]中，自然地建立起可置换性与rpp半群的联系，引入了PI-强rpp半群(满足置换恒等式的强rpp半群)。

半群上的Green关系有多种推广。Fountain定义了半群上的*-Green关系Λ*，P*，H*，△*和ϑ*。Green关系的不断拓展所带来的问题越来越难解决，这些问题也正是目前半群代数理论的研究热点。在文献[7]中，唐向东引入了广义格林关系——Λ**-关系，利用这一新格林关系给出了一类更广义的C-rpp半群的刻划，即C-wrpp半群类，C-wrpp半群是对Clifford半群和C-rpp半群的更深入的推广[7]。作为C-rpp半群在wrpp半群范围内的推广，在文献[8]中引入了左C-wrpp半群的定义，给出了这类半群的一些性质和特征。任秀等将可置换性与wrpp半群二者联系起来，引入了满足置换恒等式的强wrpp半群，得到了满足置换恒等式的强wrpp半群的一些重要性质和特征，满足置换恒等式的强wrpp半群的子半群仍满足置换恒等式，以及其幂等元是正规带[9]；并且通过引入正规带上的最小半格同余ε，证明了当E(S)是矩形带时，满足置换恒等式的强wrpp半群是交换P-左可消幺半群与矩形带的直积[10]。本文旨在将C-rpp半群在wrpp半群范围内的推广。引入了完全wrpp半群的定义，并研究了它们的一些性质。

1 基础准备

定义 1[7]：设S是一个半群，S上的广义格林关系Λ**可以定义如下

Λ**={(a，b)∈S×S| ∀x，y∈S1) (ax，ay)∈P⟺(bx，by)∈P}，这里P表示通常的格林关系。

定义2[8]：半群S称为wrpp半群,如果半群满足下列条件

(1) 半群S的每个Λ**-类至少含有S的一个幂等元；

定义3[9]：wrpp半群称为强wrpp半群，如果对于任意的a∈S存在唯一与a有Λ**关系的幂等元e，使得ea=a。

如果S是强wrpp半群，Ma总是含有唯一的幂等元e，使得a=ea，我们标记包含在Ma中的这个唯一的幂等元e为a+。因此，有a=a+a=aa+。

定义4 ：半群S称为完全wrpp半群，如果满足下列条件

(1)S是强wrpp半群；

(2) 在半群S的乘法运算下E(S)构成一个正规带；

(3)Λ**是半群S上的同余。

引理1[11]：设B是一个带,则下列条件是等价的

(1)B是正规带；

(2)B是矩形带的强半格；

(3) 对任意的e，f，g，h∈B，有efgh=egfh。

为了简便起见，我们标记引理1中的矩形带Bα为E(f)，f∈Bα，α∈Y，如果α≥β，α，β∈Y，那么Bα≥Bβ，其中正规带B的结构分解为[Y；Bα(α∈Y)；φα,β]。

2 主要结果

引理2 ：设S为完全wrpp半群，半群S上的关系η为aηb当且仅当a=fb，f∈E(b+)，a，b∈S，则η是S上的同余。

证明：首先证明η是S上的等价关系。由η的定义,η显然是对称的，如果aηb，a，b∈S，由η的定义，有a=fb，f∈E(b+)，因此fa=a。由于a+Λ**a，且Λ**是S上的同余，则有fa+Λ**fa，因此fa+Λ**a，从而fa+a=fa=a。另一方面，由S是完全wrpp半群知，E(S)是正规带，则E(S)的结构分解为E(S)=[Y；Eα(α∈Y)；φα,β]，令a+∈Eα，f∈Eβ，则有

由强wrpp半群的定义，有fa+=a+，因而，E(a+)≤E(f)=E(b+)。再由a=fb，E(S)是正规带，有b+a=b+fb+b=b+b=b。同理可得E(b+)≤E(a+)。因此E(a+)=E(b+)，并且η是反射的。假设aηb，bηc，由上述的证明立即得到E(a+)=E(b+)=E(c+)，令b=gc，g∈E(c+)，进而a=fgc，fg∈E(c+)，因此aηc，所以η是传递的。

其次证明η是右相容的。假设aηb，对于任意的a，b∈S，由η的定义，有a=fb，f∈E(b+)。事实上，b+b=b=bb+，对于任意的c∈S，有c+c=c=cc+，E(S)是正规带，则有b+fb+=b+。我们可以得到

又因为(ac)+Λ**ac，Λ**是同余，所以(ac)+(bc)+Λ**(ac)(bc)+，从而(ac)+(bc)+Λ**(ac)。由引理1，E(S)可表示为矩形带Eα的强半格[Y；Eα(α∈Y)；φα，β]，令(ac)+∈Eα，(bc)+∈Eβ，则有

因而 (ac)+(bc)+ac=ac

由强wrpp半群的定义知 (ac)+(bc)+=(ac)+

从而E((ac)+)≤E((bc)+)

相似地可得E((bc)+)≤E((ac)+)

所以E((ac)+)=E((bc)+)，从而acηbc。

再次证明η是左相容的。事实上，假设aηb，对于任意的a，b∈S，由η的定义，有a=fb，f∈E(b+)，再由E(S)是正规带，对于任意的c∈S，则有

ca=cfb

=cc+fb+b+b

=cc+b+fb+b

=cc+b+b

=cb

显然，E((ca)+)=E((cb)+)，ca=(ca)+(cb)。

由η的定义可知caηcb。

综上证得η是S上的同余。

定理1：设S是完全wrpp半群，η是上述引理2.1中定义的同余关系，如果aΛ**b，a，b∈S，那么aηΛ**S/ηbη。

证明：假设aΛ**b，a，b∈S，如果x，y∈S1使得((ax)η,(ay)η)∈P (S/η)，那么存在u，v∈S1，使得

(ax)η(uη)=(ay)η

(ay)η(vη)=(ax)η

因此可以找到e∈E((ay)+)，f∈E((ax)+)使得

axu=e(ay)，ayv=f(ax)

由E(S)是正规带，有

ayv=f(ax)

=(ay)+f(ax)+(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)+f(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)+(ax)

=(ay)+(ax)

因为(ayv)η(ax)，所以(ay)+∈E((ax)+)，因而E((ay)+)≤E((ax)+)。

同理可得E((ax)+)≤E((ay)+)，因此，E((ax)+)=E((ay)+)。

所以efaxu=efe(ay)=efe(ay)+(ay)=eef(ay)+(ay)=efay

即efaxu=efay

同理可得efayv=efax，因而(efax，efay)∈P。由于aΛ**b，Λ**是S上的同余，则efaΛ**efb，所以(efbx，efby)∈P，因此由P的定义，存在r，s∈S1，使得

efbxr=efby，efbys=efbx。

由于(a，b)∈Λ**，则有(ax，bx)∈Λ**，因而E((ax)+)=E((bx)+)

同理可得

E((ay)+)=E((by)+)

由E((ax)+)=E((ay)+)得

E((bx)+)=E((by)+)

因此

(bx)+(ef)∈E((by)+)

又因为

bxr=(bx)+(ef)(bx)+bxr=(bx)+efbxr=(bx)+efby

因而有

(bx)η(rη)=(by)η

类似地可得

(by)η(sη)=(bx)η

因此((bx)η，(by)η)∈P(S/η)，所以(aη,bη)∈Λ**(S/η)。

3 结语

通过对强wrpp半群引入Λ**同余关系，定义了完全wrpp半群。在完全wrpp半群S中定义了一类关系η，而半群S上的关系η是S上的同余，并且Λ**在由同余关系η而来的商半群是遗传的。

[参考文献]

[1] M.Kilp. Commutative monoids all of whose principal ideals are projectiv[J].Semigroup Froum，1973(6)： 334-339.

[2] J.B. Fountain.Right pp monoids with central idempotents[J].Semigroup Forum,1977,13:229-237.

[3] P.Y. Zhu, Y.Q. Guo,K.P. Shum.The characterization and structure of left Clifford semigroups[J].Science Bull,1991(6):582-590.

[4] Y.Q. Guo, K.P. Shum,P.Y. Zhu.The structure of left C-rpp semigroups[J].Semigroup Forum, 1995,50:9-13.

[5] X.J. Guo, K.P. Shum,Y.Q. Guo.Perfect rpp semigroups[J].Comm. Algebra, 2001,29:2447-2459.

[6] X.J. Guo.Structures of PI-strong rpp semigroups[J].Kexue Tongbao,1996,41:1647-1650.

[7] X.D. Tang.On a theorem of C-wrpp semigroups[J].Comm. Algebra, 1997,25:1449-1504.

[8] L. Du,K.P. Shum.On left C-wrpp semigroups[J]. Semigroup Forum,2003,67:373-387.

[9] 任秀, 姜秀燕.满足置换恒等式的强wrpp半群的性质[J].大庆师范学院学报,2006 (2)：25-27.

[10] 任秀，姜秀燕，孙凤芝. 满足置换恒等式的强wrpp半群的性质和特征[J].长春师范大学学报:自然科学版,2007(3)：7-9.

[11] J.M. Howie.Fundamentals of Semigroup Theory[M].London:Academic Press,1995.