具有阶段结构病毒动力学模型的稳定性分析

查淑玲

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

流行性传染病是严重威胁人类健康的疾病，而病毒性感染是现代社会传染病流行的重要因素.病毒感染正在给人类的生命财产带来巨大的损失.描述与理解这类病毒感染的动力学原理，对深入研究病毒性感染与抗病毒治疗有着基础性的意义.

在病毒动力学研究中，通常将未被感染的细胞、已被感染的细胞和病毒作为分析的三个变量［1］.其相互作用过程为：一个未被感染的细胞被病毒感染之后，再伴随着被感染细胞的死亡而产生病毒.由于有一些被感染细胞需要较长时间来产生病毒［2－3］，为此将被感染细胞分为潜伏和活性两阶段是必要的，其中潜伏被感染细胞不能产生病毒，它会经过一段时间后发展为活性被感染细胞，而活性的被感染细胞能直接生产病毒.文献［4］在假定病毒处于稳定状态时，得到了病毒的基本再生数，给出了病毒最终灭绝及持续存在的条件.本文则在文献［4］的模型中，去掉了假定病毒处于稳定状态的条件，分析了模型平衡态的稳定性，给出了判别稳定的条件.

具有阶段结构的病毒动力学模型为

其中，x=x(t)为t时刻未被感染细胞的量，y=y(t)为潜伏被感染细胞的量，z=z(t)为活性被感染细胞的量，ν=ν(t)为病毒的量.假设未被感染的细胞以速率μ1A1/(1+mν)输入，此输入率随病毒量的增加而降低，模型中参数的意义可参看文献［4］.

由于系统(1)的相空间是四维的，参数较多时分析其动力学性态比较困难，因此引入变量代换

1 无病平衡点稳定性

系统(2)的平衡点满足方程

由方程(3)可知，系统的无病平衡点为P0(A，0，0，0)，另外系统还有一个疾病平衡点P*(x*，y*，z*，ν*).由(3)中第2式及第3式消去未知量y，可得

定理1 当R0＜1时无病平衡点P0(A，0，0，0)是局部渐进稳定的;R0＞1时无病平衡点P0(A，0，0，0)是不稳定的.

经过计算得

又因条件R0＜1保证了σ2－δA+δAp＞δApε/(μ+ε) ＞0，由Hurwitz判据可知，矩阵J(P0)的另外三个特征值的实部均小于零，因此，R0＜1时无病平衡点P0(A，0，0，0)是局部渐进稳定的;而R0＞1时无病平衡点 P0(A，0，0，0)是不稳定的.

2 地方病平衡点的稳定性

这里为了讨论方便起见，不妨假设系统(2)中的参数μ=1.系统(2)在平衡点P*(x*，y*，z*，ν*)处的雅克比矩阵为

定理2 当B1B2B3－B＞0时地方病平衡点P*(x*，y*，z*，ν*)是局部渐进稳定的;当B1B2B3－＜0时地方病平衡点P*(x*，y*，z*，ν*)是不稳定的.

［1］Nowak M A，May R M.Virus Dynamics［M］.New York：Oxford University press，2000.

［2］McLean A R，Emery V C，Webster A，et al.Population dynamies of HIV within an individual after treatment With Zidovudine［J］.AIDS，1991，5(3)：485-459.

［3］王霞，陶有德，宋新宇.一类带有肝炎B病毒感染的数学模型的全局稳定性分析［J］.生物数学学报，2009，24(l)：1-8.

［4］查淑玲，李建全，杨亚莉.一类具有阶段结构的病毒动力学模型［J］.生物数学学报，2011，26(2)：286-292.

［5］Wu J H，Wei G S.Coexistence states for cooperative model with diffusion［J］.Computers and Mathematics with Applications，2002，43：1277-1290.