二阶振动系统的解耦条件及算法研究

沈继红，胡 波，王 侃，金 鑫

(1.哈尔滨工程大学 理学院，哈尔滨 150001;2.哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨 150001)

二阶振动系统问题频繁地产生于各种工程应用中，如舰船垂向运动系统、车桥耦合系统、质量弹簧阻尼系统、流固耦合系统以及冰载荷计算等等，因此被广泛研究［1－4］。在对系统进行动态分析时，通常要将二阶振动系统进行解耦，即将一个多自由度的二阶振动系统解耦成多个无关的单自由度子系统。

图1所示的质量弹簧系统是一个典型的二阶微分运动系统，其实质是一个二阶振动系统解耦问题。为了实现二阶振动系统的动态响应分析，Caughey等［5］提出了经典阻尼系统三个矩阵同时对角化的充要条件，文献［6］通常采用忽略模态阻尼矩阵非对角元素的近似解耦方法来分析非经典阻尼系统，并且当模态阻尼矩阵满足对角占优［7］的情况时误差可忽略。文献［7］通常将系统阻尼项弱化或者假定为比例阻尼系统，进而通过广义特征值分解法来实现系统解耦。在文献［8－9］中Garvey等首次提出通过保持Lancaster结构的同谱变换来研究二阶系统的解耦，Moody等在文献［10］中从理论上证明了几乎对所有的二阶系统都存在等价变换，文献［11］中利用保结构同谱流算法来实现二阶系统解耦，但是谱特征的保持效果并不好，如果解耦前后系统的谱性质没有得到完整的保持，那么解耦后的系统就不能代表原始系统的特征，解耦的研究也就失去了意义。因此，解耦研究的关键就是系统谱特征的保持。针对二阶振动系统的解耦问题，本文提出了二阶振动系统可解耦的条件并给出了相应的证明，利用解耦前后系统同谱的性质构造了解耦系统的三个参数矩阵，实现了二阶振动系统的同谱解耦。文中主要研究质量矩阵非奇异的正则二阶振动系统。

图1 2自由度质量弹簧系统Fig.1 Two-degree-of-freedom mass－ spring system

1 二阶振动系统的解耦理论

针对图1所示的质量弹簧振动系统建立运动方程:

其中，M，C，K∈Cn×n和f分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和外力向量，x(t)表示位移矢量(t)和(t)分别表示x(t)的二阶导和一阶导，则质量弹簧振动系统运动方程是一个典型的二阶微分方程，对于大多数二阶振动系统，M ，C，K满足对称性和正定性。相关的无阻尼系统是一个广义特征值问题:

由于系数矩阵的正定性，所有特征值λi都是正实数，并且相关的特征向量uj是实数且关于M和K正交。定义模态矩阵和谱矩阵分别为:

通过正交化得到:

模态矩阵定义了一个实数可逆坐标变换x=Uq，将:其代入式(1)得到:

其中，模态阻尼矩阵D=UTCU，当且仅当D是对角阵时，式(1)是可解耦的系统并称上面的解耦过程为经典模态分析，此时称式(1)为经典阻尼系统。否则称为非经典阻尼系统。通过引入x(t)=v1eλt，可以得到方程(1)的解并且特征值λ和特征向量v1由下面的二次特征值问题给出:

该二次特征值问题等价于广义特征值问题:

其中:

将式(4)代入式(3)，得:

(λ2M+ λC+K)v1=0， λMv1=Mv2

易知，当M非奇异时v2=λv1。上述的对称线性化系统L(λ)称为Lancaster结构。为了实现动态分析，通常要将式(2)描述的二阶振动系统进行解耦，即找到非奇异的实数解耦变换2n×2n矩阵Πl和Πr作用于方程(4)，使其保持Lancaster结构，即:

并且使MD，CD和KD为对角阵，此时的质量弹簧阻尼系统(2)等价于完全解耦的系统:

如果M和MD是非奇异阵特，则特征向量v1和z1有如下关系:

式中:Q(λ)和QD(λ)是同谱的(即有相同的特征值和重复度结构)。在二阶系统Q(λ)可解耦的前提下，由文献［8］知一定存在这样的Lancaster结构保持变换Πl和Πr，但是对于什么样的系统是可解耦的研究却没有提到，下面给出二阶振动系统可解耦的条件。

2 二阶振动系统的解耦条件

Rayleigh提出当满足条件C=αM+βK(α和β为实常数)时是经典阻尼系统，此时的二阶振动系统也可称比例阻尼系统［12］。Caughey等［5］提出了经典阻尼系统三个系数矩阵同时对角化的充要条件CM－1K=KM－1C，可利用经典模态分析来实现解耦，然而对于非经典阻尼系统是否可以解耦以及满足什么条件才可以解耦却没有提到。二阶振动系统Q(λ)=λ2M+λC+K 在复数域中存在相异的特征值 λ1，λ2，…，λt，1≤t≤2n，对 1≤ i≤ t，定义 λi的局部重复度ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，其中 μg，i为 λi的几何重复度为，代数重复度为μa，i，下面给出了二阶振动系统可解耦的充要条件。

定理1 Q(λ)是一个质量矩阵非奇异的正则二阶振动系统，当且仅当同时满足下列三个条件时存在同谱对角系统QD(λ)(即Q(λ)是可对角化的):

(1)二阶振动系统的所有特征值的总个数为2n;

(2)λi对应的局部重复度只能取1或2，且λi的几何重复度大于等于λi的代数重复度的一半;

(3)Q(λ)的线性初等因子一定能够配对成两组特征值互不相同的集合。

首先证明必要性。Q(λ)存在同谱对角系统QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，因此，Q(λ)和QD(λ)具有相同的特征值及其重复度结构。因此，对角系统QD(λ)也存在相异的特征值 1，λ1，…，λt∈C ，1≤ t≤2n，对1≤i≤ t，特征值 λi的局部重复度满足 ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，特征值λi的几何重复度为 μg，i≤min(n，μa，i)，特征值 λi的代数重复度为，由于Q(λ)是一个质量矩阵非奇异的正则二阶振动系统，于是:

因MD、CD和KD为n阶对角阵，设:

将二阶同谱对角系统写成直和的形式:

则:

其中，I2为2阶单位阵，于是QD(λ)可以线性化为矩阵λI2n－A:

其中，I2n为2n阶单位阵，此外，λI2n－A的初等因子恰好就是式(9)中的不相交集合，因此:

1 ≤ nij≤ 2， 对1 ≤ i≤ t， 1 ≤ j≤ μg，i(10)

对每个二次初等因子(即局部重复度nij=2)作为对角矩阵QD(λ)的一个块元素，于是可以对相异特征值λi定义整数si为:

式(8)、式(10)和式(12)对应于定理1中的三个条件，满足这三个条件的二阶振动系统存在同谱对角系统。

下面证明充分性:当M非奇异的正则二阶振动系统Q(λ)满足条件①、②和③时，证明Q(λ)的同谱对角系统QD(λ)可以构造出来。由式(10)可知Q(λ)的初等因子的度只能为1或2，当度为2时每一个这种二次初等因子都可以构成对角系统QD(λ)的n个对角元素中的一个，而二次初等因子的总数为p，因此，同谱对角系统QD(λ)的p个对角元素能够被构造出来。为了构造QD(λ)剩下n－p个对角元素，下面证明Q(λ)剩下的线性初等因子的数目是偶数。由si得定义知λi有si个二次初等因子，于是:

由:

最后得到:

从而证明了q是偶数。且由条件③知线性初等因子可以组织成相异特征值对(λk1，λk2)，λk1≠λk2，因此，Q(λ)的个线性初等因子能够组织成n－p对相异特征值，于是QD(λ)剩下的n－p个对角元素能够被构造出来。从而满足条件(1)～(3)的同谱对角系统QD(λ)的n个对角元素全部被构造出来。

3 二阶振动系统的解耦算法

当二阶振动系统满足定理1中三个条件时称为可解耦的系统，下面针对可解耦的系统给出具体的解耦构造算法。对于原始正则二阶振动系统 Q(λ)=(λ2M+λC+K)，设解耦后的解耦系统为 QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，其中M和MD是非奇异阵。正则二阶振动系统Q(λ)在复数域内具有2n个特征值，而三个参数矩阵为实数矩阵，因此其复特征值是以共轭成对出现。不妨设其复特征值集合和实特征值集合分别为:

则由Q(λ)的特征值方程知:

因QD(λ)与 Q(λ)同谱，则式(13)与式(14)对照得:

因此给定MD中满足0≠mj∈R的对角元素mj，通常取 mj=1，j=1:n，即 MD=In，便可以根据式(15)构造出QD(λ)，使得QD(λ)与Q(λ)具有相同的特征值及其重复度结构，从而实现了二阶振动系统的同谱解耦。

4 数值试验

例1 一个特征值相异且满足定理1中可解耦条件的二阶振动系统如图1所示，2自由度的质量弹簧系统三个矩阵参数表示如下:

其中，m=k=1，c1=0.6，c2=c3=0.1，求解二次特征值问题(2)得到原始系统的特征值集合为:

由2对共轭的复数特征值组成，满足定理1振动系统可解耦的三个条件，利用式(15)构造得到:

其特征值集合为:

而近似解耦法得到的解耦系统特征值集合为:

本文方法和近似解耦法与原始系统的特征值对比图如下:

回去后，甲洛洛一觉睡到了中午做饭时，依然觉得还没睡够，这对于甲洛洛来说，近几十年来从没有过的事，原来早上五点就醒了，再怎么闭眼也睡不着，最后硬是熬到六点才起床的。现在可好，作息时间变了，心性也跟着变了，变得好像年轻了二三十岁，有睡不完的瞌睡。

图2 λa与λc特征值对比图Fig.2 Contrast eigenvalues in λband λc

从图2中可看出原系统与本文解耦系统的特征值重合，即解耦前后系统完全同谱，而图3中特征值存在差异，因此本文解耦算法的解耦效果比近似解耦算法好。

例2 一个有重根存在的二阶振动系统

图3 λa与λb特征值对比图Fig.3 Contrast eigenvalues in λaand λb

求解二次特征值问题(2)可知，系统有两个特征值0和1，且代数重复度分别为1和3，由于Q(1)=0，因此特征值1的几何重复度为2，因此，定理1中的三个条件都满足，所以该二阶振动系统可解耦，且解耦系统可表示为:

例3 一个不可解耦的二阶振动系统

由detQ(λ)=(λ+1)4知该二阶系统仅有代数重复度为4的特征值－1，而rankQ(－1)=1，知其几何重复度为1，所以该系统不满足定理1中的条件(10)以及条件(12)左边的不等式，因此该二阶系统是不可解耦的。

5 结论

针对二阶振动系统的解耦问题，本文给出了该系统可解耦的条件及其相应证明并提出同谱构造解耦算法。数值试验中验证了解耦条件的正确性，实现了二自由度质量弹簧系统的同谱解耦，并与近似解耦算法的谱特征进行了对比。结论如下:

(1)解耦条件判断简便且适合所有质量矩阵非奇异的二阶振动系统;

(2)同谱构造解耦算法实现解耦前后的完全同谱;

(3)具有相异特征值的二阶振动系统是可解耦的。

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