三维空间中Navier－Stokes 方程的有限差分方法

杨雪敏，郑治波，狄华斐

(1.云南师范大学数学学院，云南 昆明 650092;2.云南民族大学数学学院，云南 昆明 650500)

研究三维Navier－Stokes具有非常重要的意义，但我们很难求得此方程的精确解.目前就理论上做了少量工作，构造了部分精确解.理论上进展缓慢，主要是人们不知道从何处入手.然而，数值解将会提供一些信息.本文研究如下形式的三维 Navier－ Stokes 方程［1－2］:

其中，F=F(u，v，w，t).u=u(x，y，z，t)，v=v(x，y，z，t)，w=w(x，y，z，t)分别表示流体的速度，p(x，y，z，t)是压强.方程(1)可以被写成:

1 三维Navier－Stokes方程向前差分格式的解与精确解的误差

1.1 讨论三维Navier－Stokes方程向前差分格式

首先，我们建立(2)式的向前差分格式，在建立之前，设

M是一个给定的正整数，对于三维空间区域作网格剖分，取空间方向步长为，时间方向步长为τ，而且分别记:

于是三维Navier－Stokes方程向前差分格式:

我们把(3)式进行化简整理得到:

1.2 画图误差

我们找到方程的一个精确解:

用我们编写的MATLAB程序求解，得出如下图:

图1 t=1～3时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

图2 t=4～6时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

图3 t=7～9时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

1.3 误差分析

图1～3分别为t=1～9(从行看)时，相应的差分的解的图，真值图，两者的比较图，两者之间的误差图.可以发现，当t=1～3时，吻合程度较好;随着时间的推移，吻合程度越来越差，变化程度越来越剧烈.

2 三维Navier－Stokes方程向后差分格式的解与精确解的误差

2.1 讨论三维Navier－Stokes方程向后差分格式

和前面的相同，我们构造了三维Navier－Stokes方程向后差分格式:

我们把(4)中的3个等式进行化简得到:

图4 t=1～3时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

图5 t=4～6时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

图6 t=7～9时(从行看)相应的差分的解的图真值图，两者的比较图，两者之间的误差图

2.2 画图误差

同样我们采用精确解作为方程的初值.用我们自己编写的MATLAB程序得到图4～图6.

2.3 误差分析

图4～图6分别为t=1～9(从行看)时，相应的差分格的解的图，真值图，两者的比较图，两者之间的误差图.可以发现，当t=1～3时，吻合程度较好.随着时间的推移，吻合程度越来越差，变化程度越来越剧烈.

3 结论

可以发现，当t=1～3时，吻合程度较好;随着时间的推移，吻合程度越来越差，变化程度越来越剧烈.以上采用的时间步长为0.1，采用不同的时间步长后我们又发现时间步长越小，差分解的精确性越高.我们也可以采用不同的差分格式对此方程进行分析，不同的差分格式在不同的时间段吻合程度不同.

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