联想函数模型速解抽象函数

☉江苏省泗洪中学 李 波

抽象函数没有给出具体的函数解析式，但其既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力.因其形式抽象，解题中学生常感无从下手，如果将一些抽象问题构造为了常见函数的模型，使抽象问题具体化，仿照模型解题，会迅速找到解题思路.下面就几种常用的变化举例说明，供参考.

一、联想正比例函数模型

若函数y=f（x）是R上的单调函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）或f（x-y）=f（x）-f（y），则函数y=f（x）的解析式可设为f（x）=kx（k≠0）.

例1已知函数y=f（x）对任意的x、y实数，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0.试比较f（1）与f（2）的大小.

解析：因函数y=f（x）对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则函数y=f（x）的解析式可设为f（x）=kx（k≠0）.

又当x＞0时，f（x）＜0，则k＜0，可得函数y=f（x）在R上是减函数.

故f（1）＞f（2）.

二、联想反比例函数f（x）=模型

三、联想指数函数模型

若函数y=f（x）是R上的单调函数，且满足f（x+y）=f（x）·f（y）或f（x-y）=f（x）÷f（y），则函数y=f（x）的解析式可设为f（x）=ax（a>0，且a≠1）.

例3已知函数f（x）对于一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x+y）=f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1.

（1）当x＞0时，求f（x）的取值范围；

（2）判断f（x）在R上的单调性.

联想：由f（x+y）=f（x）f（y）联想“模型函数”y=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时为单调增函数，且x＞0时，y＞1，x＜0时，0＜y＜1；0＜a＜1时为单调减函数，且x＜0时，y＞1，x＞0时，0＜y＜1，从而猜测：f（x）为减函数，且当x＞0时，0＜f（x）＜1.

解析：（1）由题意知对一切x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y），且f（0）≠0.

令x=y=0，则f（0）=1，现设x＞0，则-x＜0，f（-x）＞1.

四、联想对数函数模型

若函数y=f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）或f（x/y）=f（x）-f（y），则函数y=f（x）的解析式可设为f（x）=logax（a>0，且a≠1）.

例4已知函数y=f（x）是定义在正实数集上的增函数，且满足下列条件：

（1）f（xy）=f（x）+f（y），（2）f（2）=1.

如果有f（x）+f（x-3）≤2，求满足不等式的x的取值范围.

解析：因函数y=f（x）在正实数集上是增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），则函数y=f（x）的解析式可设为f（x）=logax（a>0，且a≠1）.

又f（2）=1，则a=2，从而函数y=f（x）的解析式为f（x）=log2x.

不等式f（x）+f（x-3）≤2可转化为log2x+log2（x-3）≤2.

即等价于下列不等式组：

解不等式组得3＜x≤4.

故不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}.

五、联想三角函数模型

例5函数f（x）定义域为全体实数，对任意实数a、b，有f（a+b）+（fa-b）=2（fa）·（fb），且存在C＞0，使得，求证（fx）是周期函数.

联想：因为cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb，且因而得出它的模型函数为y=cosx，由y=cosx的周期为2π，可猜想2C为f（x）的一个周期.

分析：要在证明2C为f（x）的一个周期，则只需证f（x+2C）=（fx），而由已知条件和（fa+b）+（fa-b）=2（fa）·（fb）知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现

则f（x+2C）=f［（x+C）+C］=-f（x+C）=f（x），即f（x）是以2C为周期的函数.

综上，联想构造不仅使我们加深对知识的理解及灵活运用，而且能够培养我们的思维品质，提高解题能力.因此，在日常学习中在以教材为基础的前提下，加强对变式研究，以促解题能力的进一步提高.