初中数学解题中常见错误案例分析

☉安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天

初中数学解题中常见错误案例分析

☉安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天

在数学解题中，学生表现出的错误是多种多样的，概括起来主要有知识性错误、逻辑性错误、心理性错误和策略性错误等.本文试图通过案例，分析错误原因，明晰错误类型，提高防错能力.

一、知识性错误

知识性错误主要是由数学知识上的缺陷所造成的错误，如误解题意、概念不清、忽视公式、定理成立的条件、记错法则、用错定理等.

1.不能正确理解题意

例1 （2005年贵阳）如图1，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）.

A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm

故选C.

图1

图2

这种解法的错误是没有理解题意.题目的条件是“沿着圆柱体的表面爬行”而不是“沿着圆柱体的侧面爬行”.事实上，由点A到点C有两类路径：一、只走侧面；二、既走侧面又走底面.

解法2：如图3，将圆柱的侧面展开为矩形，上底面展开为母线AB上方的圆.则有：

图3

也并非l2一定小于l1.若将上题中的圆柱体底面周长改为16cm，可得l2＞l1.

又由于底面展平有开放性且蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的路径爬行到点C有无数条路径.如图4，设蚂蚁沿A→D→C，其中AD是侧面上的最短距离，DC是底面上的最短距离.

图4

设圆心角∠BOD=α，底面圆的半径为r，显然0≤α≤π，则B（D=rα.于是：

显然上列两种解法都不对，解法1是因为不能正确理解题意，把“表面”当“侧面”而出错；解法2是因为分类不全而导致逻辑性错误，出错的根本原因还是这道题超标.

由于不能正确理解题意而致错的普遍存在于阅读理解题、新定义题、应用题等.

2.忽视公式、定理成立的条件

错误原因是忽视了等比定理成立的条件：分母之和不等于0.

二、逻辑性错误

逻辑性错误主要是违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误.如预期理由、不能推出、偷换概念、循环论证、分类不全、充要条件错乱等.

1.预期理由（论据的真实性有待于证明）

例3 求证：任意三角形为等腰三角形.

已知：△ABC为任意三角形.

求证：AB=AC.

证明：作∠A的平分线t与BC的中垂线l交于点O，连接BO、CO，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F（如图5），则OE=OF.于是Rt△AOE S Rt△AOF，所以AE=AF.

同理Rt△BOESRt△COF，所以BE=CF.故AB=AC.

此处“∠A的平分线t与BC的中垂线l交于点O”其真实性有待于证明，称之为“预期理由”.若AB=AC，则t与l重合；若AB≠AC，则t与l的交点在△ABC的外部.

2.偷换概念（违反同一律）

例4 已知m为有理数，问k为何值时方程x2－2（3m+1）x+（8m2+2m－3k）=0的根是有理数.

错解：要使方程的根是有理数，它的判别式

Δ=［2（3m+1）］2－4（8m2+2m－3k）=4（m2+4m+1+3k）必须是完全平方式，也就是必须使关于m的方程m2+4m+1+3k=0有两个相等的实根.于是Δ′=42－4（1+3k）=12（1－k）=0，

所以k=1.

3.分类不当（分类有重复或遗漏）

例5 平面直角坐标系内有点A（1，1），请在x轴上找点P，使得△AOP为等腰三角形，并求出点P的坐标.

错解：如图6，易找到满足条件等腰直角三角形AOP的P点的坐标为（1，0）和（2，0）.

分析：对于等腰△AOP，按底边我们应分三种情况考虑：

图6

（1）当OA为底时，则OP=AP，此时点P是OA的中垂线与x轴的交点，P（1，0）；

（3）若A为顶点，则AO=AP，此时点P是以A为圆心，AO为半径的圆与x轴的交点，P（2，0）.

4.循环论证（论据的真实性依赖于论题）

例6 已知△ABC中，AD为∠A的平分线，BD＞DC，求证：AB＞AC.

证明：如图7，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE.

因为AD平分∠A，所以△AED S△ACD，从而∠AED=∠C.

又因为∠AED＞∠B，所以∠C＞∠B.故AB＞AC.

分析：证明中在AB上取点E，使AE=AC，已经承认了AB＞AE=AC.这相当于从AB＞AC出发，证明AB＞AC，等于什么也没证.

5.不等价变换（充要条件错乱）

例7 解方程x2=3x.

分析：学生习惯在等式两边同除以x，得x=3.

显然x=3是x2=3x的充分但非必要条件，解法错误.

例8 已知方程x2+（m－2）x+5－m=0的两根都大于2，求实数m的取值范围.

图7

图8

因为方程x2+（m－2）x+5－m=0的两根都大于2，所以

三、心理性错误

心理性错误是由于某些心理原因而产生的错误.如负迁移、潜在假设，以及看错题、抄错题、丢三落四、慌乱急躁、紧张焦虑等.

1.负迁移

受到解分式方程的影响，把分式运算当成了解方程.

这里可以“错”中找“对”，利用错解中的合理成分，化腐朽为神奇.

例10 如果关于x的不等式3x－m＜0的正整数解是1、2、3，求m的取值范围.

错解：根据题意将x=1、2、3分别代入不等式3x－m＜0，得m＞9.

分析：将方程的解迁移到不等式上，导致对条件“正整数解是1、2、3”理解的偏差，从而将另一层含义“大于或等于4的整数不是该不等式的解”忽视了.

故9＜m≤12.

图9

正解2：（“错”中找“对”）

由已知x=3是不等式3x－m＜0的正整数解，而x=4却不是，所以 3×3－m＜0，

2.忽视隐含条件

解题过程中因局部满足感的驱使，常常忽视隐含条件.

错解：因为原方程有两个不相等的实数根，

分析：由于忽视隐含在题目中的条件k－1≥0，即k≥1，故出现错解.

例12 已知二次函数y=2x2－4x+1，求当0≤x≤5时，y的变化范围.

忽视了对称轴在区间内这一隐含条件而致错，正解应是－1≤y≤31.

3.潜在假设

例13 下面各行数字中，哪一行既含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方（ ）.

错解：在所出现的数字2，3，4，5，6，7，8，9中，只有8是整数的立方，4，9是整数的平方，故不含8的A、D、E首先可以排除.又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”、“立方”都是2，与“含有某个整数的平方，又含有另一个整数的立方”不符，故选B.

事实上，－2的平方也等于4，所以，选择B、C都成立，这种错误是由于心理原因造成的潜在假设或丢三落四所致.

有时，几种错误也会同时出现.

例14 在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数是（ ）.

A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不确定

错解：如图10.

图10

图11

这道题没有给图，解答默认了点D在BC上，若点D在BC外（如图11），则有∠BAC＜90°，所以正确答案应是D.由于默认了“点D在BC上”得出一个假命题，有知识性错误；分类不全又有逻辑性错误；而“默认”本身又有心理性原因——潜在假设.

四、策略性错误

策略性错误主要是解题方向上的偏差，造成思路受阻或解题长度过长，存在多余的思维回路.

1.缺乏整体观念

例15 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？

然后试图单独求出x、y、z，发现两个方程中有三个未知数，感到条件不足，而题目中又不可能再列出第三个方程，只好放弃.这是由于缺乏整体观念，导致解题策略上的方向偏差.如果避开x、y、z这些非必要的成分，将x+y+z看成一个整体，化上述方程组为：

所以a、b是方程②的根.

分析：由④先解出α、β，然后代入⑤又消去α、β，解题长度过长，存在多余的思维回路.⑥式进行了两根之和、两根之积的运算，让我们联想到用韦达定理代替求根公式.

证明2：把①化为标准形式

⑦代入⑧得x2－（a+b）x+ab=0，所以方程②的根为：x=a，x=b.

分析：先求出α+β，αβ，然后代入⑧消去α+β，αβ.多余的思维回路仍未消除！

整体上看条件与结论之间具有对称性.

所以（x－α）（x－β）+cx=（x－a）（x－b）.即a、b是方程②的两个根.

2.不善于从反面思考

例17 已知三个方程x2+mx－m=0，x2+2mx－3m=0，x2+（m－1）x+m2=0，至少有一个方程有实数根，求m的取值范围.

分析：若从正面考虑，要列7个不等式组，耗时、耗力，容易出错.题设的反面是三个方程都无实数根，于是有：

即当－3＜m＜－1时，三个方程都没有实数根，因此当m≥－1或m≤－3时，三个方程中至少有一个方程有实数根.

3.不能恰当地转化问题

例18 若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交成如图12所示的图形，则共得同旁内角（ ）.

A.4对 B.8对 C.12对 D.16对

解：分别取出AB、CD，得出2个“三线八角”基本图形；再取出EF，可得到3个“三线八角”基本图形，同样取出MN也得到3个“三线八角”基本图形.一共有8个基本图形，而每个基本图形都有2对同旁内角，因而共有16对同旁内角.选D.

如果直线条数增加，这种解法的局限性就立即暴露出来，题目难以做对.

例19 如图13，l1与l2为相交直线，l3与l4为平行直线，l5与l6也为平行直线，问这6条直线组成多少对同旁内角？

例20设直线l1、l2、…、lk（k≥3）或相交或平行，其中li上有ni个交点（ni≥0），则这k条直线组成的图形中，有多少对同旁内角？

分析：难以做对的原因是不能将问题转化.我们注意到在“三线八角”中，关键是截线c（如图14），当a、b越来越短时，并不影响我们对“三线八角”的认识.不妨认为a、b收缩为截线c上的两点，这样一个“三线八角”的基本图形就对应一条线段，求基本图形的个数就转化为求线段的条数.

图12

图13

图14

例18另解：AB、CD上均有3条线段，EF、MN上均有1条线段，所以共有8条线段，对应8个“三线八角”的基本图形，每个基本图形有2对同旁内角，共有16对同旁内角.

事实上，当学生的认知结构不能同化他所接触的题目时，就会发生解题错误，而认知结构包括知识结构和认识结构两个方面.所以，在教学中我们除了注重完善学生的知识结构外，还要注重完善学生的认识结构.

1.戴再平.数学习题理论［M］.上海：上海教育出版社，1996.

2.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.