构造二次函数求解几何图形中的最值

☉江苏省睢宁县凌城中学 秦敬军

构造二次函数求解几何图形中的最值

☉江苏省睢宁县凌城中学 秦敬军

学习了二次函数，我们就会经常遇到几何问题的最值问题，不少同学碰到此类问题总是感到无从着手.事实上，处理这类问题，只要我们能抓住一个问题，即根据题意和几何图形的性质求出二次函数的表达式，再依据配方法或公式法求出二次函数的最值.现以2012年全国部分省市的中考试题为例说明如下：

一、利用图形的面积构造二次函数

例1 （2012年江苏无锡）如图1，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

图1

解析：设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则

所以当x=8时，S取得最大值384cm2.

点评：要先求出表面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.

二、根据勾股定理构造二次函数

例2 （2012年江苏扬州）如图2，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_______.

解析：设AC=x，则BC=2－x.

因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

所以∠DCA=∠ECB=45°.

所以∠DCE=180°－90°=90°.

在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，

图2

故当x=1时，DE2有最小值，最小值为1，此时DE有最小值，DE=1.

点评：动态问题中的最值问题，往往通过建立恰当的函数模型，再根据函数的性质确定最大（小）值.

三、根据相似构造二次函数

例3 （2012年福建南平）如图3，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C，若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与点B、C重合），求CE的最大值.

解析：因为∠1=∠B，∠1+∠CDE=∠B+∠BAD，

图3

点评：求线段的最值可以代数化，运用函数求最值是一种常见的方法，当然首先要正确建立函数关系，其次要能用好函数的性质求最值，最后要回归到几何问题中来﹒

四、根据线段乘积构造二次函数

例4 （2012年江苏苏州）如图4，已知直线l与半径为2的⊙O相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）.当x为何值时，PD×CD的值最大？最大值是多少？

解析：过O作OE⊥PD，垂足为E.

因为PD是⊙O的弦，OF⊥PD，

图4

所以PD×CD=2（x－2）×（4－x）=－2x2+12x－16=－2（x－3）2+2.

因为2＜x＜4，当x=3时，PD×CD有最大值，最大值是2.

点评：从圆的性质出发，灵活运用相似三角形、勾股定理等知识，利用线段的乘积构造出二次函数，并通过对其解析式配方，根据二次函数的性质求解问题.

五、根据圆的知识构造二次函数

例5（2012年江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成.如图5，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于点A、B.已知∠CO2D=60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24cm.设⊙O1的半径为xcm.

（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；

（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

图5

当x=4时，该玩具的制作成本最小.

点评：本题根据切线的性质以及三角函数知识，由图形中线段间的和差关系求得扇形的半径，根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本.

这类问题命题的依据——平面几何中线段的长度、面积的大小有其内在的联系，这个关系可以用函数的解析式来表示；解题方法——全面观察出几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在性质，运用其性质布列出包含函数、自变量在内的等式，并转化为函数的解析式利用配方法或顶点坐标公式方可获解.但必须密切关注自变量的取值范围内，严防顶点的横坐标不在自变量的取值范围内的情形，因为这时的最值不在顶点处，具体的可通过画出函数的图像来分析判断.