圆的概念是怎样形成的

☉江苏省无锡市教育研究中心 周建勋

☉江苏省无锡市滨湖区庞彦福中学数学名师工作室 庞彦福 何 勇

圆的概念是怎样形成的

☉江苏省无锡市教育研究中心 周建勋

☉江苏省无锡市滨湖区庞彦福中学数学名师工作室 庞彦福 何 勇

一、问题的提出

课堂教学中，数学概念往往是教师直接给出或从教科书上直接获得．随着探究教学的深入，局部探究的尝试，对概念的探究越来越引起教师的重视．数学概念是怎样形成的呢？请看下面课堂教学片段．

二、课堂教学片段实录

片段1

教师：同学们都能举出生活中许多圆的模型，圆究竟有什么特点？你真正了解圆的概念吗？请同桌间相互合作，利用我们准备好的棉线、皮筋和纸、笔，分别用棉线和皮筋画圆，然后交流你的作法和体会．

学生1：把棉线的一端固定，将棉线拉紧，另一端在纸上绕一周所画出的图形就是圆（如图1）．

学生2：用棉线能画成圆，用皮筋画不成圆．

教师：很好，为什么用皮筋画不成圆？学生2：皮筋有弹性，尽管一端能够固定，但不能保证“定长”．教师：学生2归纳得准确，很接近圆的定义了．同学们能用自己的语言描述出圆的定义吗？

学生3：一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转1周时，另一个端点运动所形成的图形就叫做圆．

教师：很好，我们再来感受一下学生3给出的圆的定义（播放线段绕其一端旋转的动画幻灯片）．

教师：通过画圆的过程，同学们还有什么收获？

学生4：用棉线画圆使我们明白了圆的定义，但不方便，还是用圆规画圆方便．

（众生笑）

学生5：我认为画一个圆需要两个条件，一是圆心，二是半径；圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小．

教师：学生5总结的很好，很精确！学生2说的既朴实又富有哲理性，同学们通过自己画圆明白并理解了圆的概念，进而归纳出了圆的定义．数学学习就是这样，只有通过动手操作、动脑思考，体会才更深刻，归纳才更准确．因为画圆用圆规方便，所以同学们以后就用圆规来画圆．

图1

片段2

教师：（播放幻灯片）如图2，在平面上找出与点O的距离为2cm的点．

学生甲：不止一个．

教师：平面上到O点距离为2cm的点有多少个？这些点形成了怎样的图形？

学生乙：有无数个，它们围成了一个圆．

学生丙：这些点都在以O为圆心，2cm为半径的圆上．

教师：很好！如果把无数个点看作集合，我们还可以给圆下一个新的定义……

教师：（播放幻灯片）如图3、4、5，怎样来描述这个定义呢？

图2

图3

图4

图5

学生丁：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

教师：如果这些点是在空间里呢？

学生戊：那就是球．

学生丁：应该说成：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．

教师：很好，学生丁给出了圆的第二种定义．请同学们认真想一想，比较圆的这两种定义是怎样形成的？

……

三、圆的概念的形成

数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的本质属性在人的大脑中的反映，是学生数学学习的逻辑起点，是数学知识系统及学生进行数学思维的核心，是数学思想与方法的载体，是数学的基础知识，在数学学习过程中具有十分重要的意义．从课改以来，从课标的修订，从教育教学实践的过程中，可以看出数学概念教学不容忽视．我们通过两个教学片段再来回顾一下圆的两种定义，定义一：一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转1周时，另一个端点运动所形成的图形叫做圆．从画图、理解图到得出圆的定义．该定义是在学生动手操作画图的过程中抽象出圆的定义，是从圆的产生来刻画圆，属于圆的产生定义，学生容易理解，容易记忆．定义二：圆是平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合，该定义是在具体问题情境中，让学生充分展开想象，经历“若干个点→无数个点→点的集合→圆的集合定义”的过程，是从圆的本质属性来刻画圆，属于圆的内涵定义，判断点是否在圆上就是该定义的具体运用．无论是圆的产生定义还是圆的内涵定义，都是学生经历操作、观察、分析、类比、猜想、归纳、抽象、概括、推广等思维活动探究而得出的新的数学概念．更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力．

李邦河院士说：“数学根本是玩概念的，不是玩技巧的．技巧不足道也．”圆的概念中，无论是哪种定义，有两点必须弄清楚；（1）“平面内”这个要求是不可缺少的；（2）都表明“圆”指的是“圆周”，不包括被它围起来的平面，以后研究圆的基本性质，必须冠以“在同圆或等圆中”，就体现了圆的定义的本质．

从圆概念的两种定义的探究过程，我们不难发现圆的概念是建构的、生成的、合理的．

1.圆的概念是建构的

从教科书和《义务教育数学课程标准》（2011年版）我们可以看出，小学和初中对“圆”的学习都有具体要求．小学是在4～6年级，即第二学段，要求是：（1）通过观察、操作，认识圆；（2）会用圆规画圆．小学阶段对圆的认识是通过观察和简单操作来认识的，画圆是用圆规画的，至于为什么恐怕学生就不太清楚了．到了初中，对“圆”的学习有了进一步的具体的明确的要求，即（1）理解圆的概念；（2）探索并了解点与圆的位置关系．就第一个要求而言，怎样“理解”呢？不少数学老师这样要求学生：对于数学概念、法则、结论一定要记住，要熟烂于心．难道学生记住了，烂熟于心了就是“理解”了吗？我们知道理解是记忆的基础，无论是数学概念，还是数学法则、定理、结论，只有明白其来龙去脉，弄清楚知识发生、发展的过程，才会真正明白和理解．对于圆的概念，如果说小学阶段学生对圆的了解是“感性”认识的话，那么初中阶段就上升到了“理性”的层面．因为听过的往往会忘记，看过的可能记住，做过的印象才深刻，才能学会．从生活中的圆为主过渡到数学中的圆为主，说明研究的对象数学化程度提高了；从圆的部分特征与圆的部分性质过渡到圆的所有特征和圆的所有性质，显示出研究的内容丰富了；从宏观的定性描述圆的特征与性质过渡到微观的定量描述圆的特征与性质，预示着研究的思想方法变化了；从借助生活中的圆进行直观感知过渡到借助数学中的圆进行理性思维，说明研究的思维要求提高了；从文字表示为主过渡到文字表示、图形表示与符号表示相结合，说明研究结果的数学表示丰富了．笔者仔细查阅2001年版和2011年版的《义务教育数学课程标准》，两个版本的课标对圆的概念的教学要求没有变化，说明了教学中对圆的概念的要求是稳定的，知识点的形成过程与衔接是成熟的．

《课程标准》指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法．片段1既是师生共同操作、画圆、识图、观察、思考、理解等活动的过程，也是圆的概念建构形成的过程．在这一过程中，圆的定义不是强行塞给学生，而是学生通过动手操作，经历观察、实验、猜测、验证等活动过程，由感知上升到理性，逐步建构出圆的定义．定义的得出是在已有知识基础之上、是在学生动手做的基础之上自然得出，显得水到渠成．

2.圆的概念是生成的

教学既是展示、演绎教师预设的过程，又是一个不断生成的过程．数学概念的形成其实也是一个生成的过程．定义一中“一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转1周时，另一个端点运动所形成的图形就生成了圆”．从概念产生的角度看，在平面内，线段的一个端点固定另一个端点运动所留下的“痕迹”就产生了“圆”．定义二“在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合”尽管看不见摸不着，但通过大脑的思维、想象，这“无数个点的集合”就生成了“圆”．数学概念的框架就像建筑行业的“脚手架”，圆的定义的形成过程就是依据“最近发展区”的原理建立概念学习的“脚手架”，使概念的产生具有牢固的基础．

学生的学习是一个主动建构的过程，是以自己原有的认知结构为基础对新的信息进行梳理、加工、编码、理解，形成建构过程．因此，教学活动不能无视学生原有的认知结构，另起炉灶，而应该紧紧依托学生的已有的知识与基础，并将其作为新知识的建构起点与生长点，从而完成自主建构．

《课程标准》指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解．”圆的概念的形成，可以理解成知识结构的“生长”，同时定义二又是定义一的延伸．理解、剖析圆的概念，是进一步学习、研究圆的基本性质的基础．

3.圆的概念是合理的

数学来源于生活，概念也是从生活中抽象出来的．圆的概念通过学生的操作、理解到形成定义，显得水到渠成，合情入理．

美国数学家杜宾斯基认为：学生学习数学概念必须要进行心理建构，这一建构过程要经历四个阶段：（1）活动阶段，理解一个概念需要活动或操作；（2）过程阶段，把操作活动综合为一个相关过程；（3）对象阶段，此时可以把概念当作一个独立的对象来处理；（4）图式阶段，此时的概念以一种综合的心理图式存在于学习者的脑海之中，在学生的知识体系中占有特定的位置，这一心理图式含有具体的实例、抽象的过程、完整的定义乃至和其他知识点的区别与联系．

理解数学概念的途径一般有三种：（1）用实例来印证；（2）用操作来感悟；（3）用作业来深化．圆的概念的引入、形成、理解恰好体现了从以上三个方面进行建构与运用，当然“用作业进行深化”是在概念教学活动之后的一个环节，这里不再呈现．在圆的定义的建构过程中，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用．恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯和应用意识，对于提高发现问题和提出问题的能力、分析问题及解决问题的能力有着重要的作用．

1.庞彦福，王韶荣，刘杰．“圆”的教学设计片断［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（1—2）.

2.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年稿）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.李邦河．数的概念的发展［J］．数学通报，2009，8.