2012年高考函数基础点扫描

☉浙江省天台中学 褚人统

函数是高中数学中最重要的概念，并且包含了很多衍生概念和相关概念.因此本专题的内容在高考中所在比重最大，试题涵盖易、中、难各个难度层次.下面对本专题在高考中考查的15个基础点进行扫描，以供读者重点注意.

一、求函数解析式，计算函数值

此题型主要考查学生的运算能力，通常是给出解析式和自变量，求函数值，学生只需代入并计算即可；若函数为抽象函数（即没有给出具体的解析式），则对代入的技巧要求更高，计算量相对更小；对于分段函数，则需要判断一下自变量所属的范围；对于已知奇偶性的函数，则可借助自变量的相反数的函数值；还有一类题目，解析式中带有待定系数，此时只要代入题目中事先给出的数据，则可通过解方程（组）解出待定系数.此类题目通常难度偏低.

二、会计算定义域

此类题型也属于基础题型，解法比较固定，难度不是太大.对于给出具体解析式的函数，求定义域只需注意以下六点即可：①分式的分母非零；②偶次根式的被开方数非负；③对数式中的真数为正；④零次幂的底数非零；⑤指、对数的底为正且不为1；⑥正切值时对应的角终边不落在y轴.在具体题目中，根据以上六点要求列出不等式（组），解之即可.

三、求函数的值域、极值、最值

此类题目是高考函数的热点问题，2012年高考中每套试卷中都有这类题目的影子，而此类题目难度覆盖层面较大，有易有难，主要取决于解析式的复杂程度.求值域的先决条件是已知定义域与解析式，这两项准备工作通常不难完成，甚至多数题目在条件中会直接给出，关键是求值域的方法灵活多变，常见的方法有：单调性法、数形结合法（适合选择、填空题）、导数法（求出最值，值域的端点通常就是最值），变形过程中还可能利用到分离常数、配方、换元等变形技巧.其中借助导数方法的较多（因为导数也是高考数学的一大热点），这就要求学生对导数的应用非常熟练：导数的正负可以判断单调性；单调区间的交界处即极值点；综合考查极值点与端点可以找到最值点.

例3 （重庆理第8题，5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f ′（x），且函数y=（1-x）f ′（x）的图像如图1所示，则下列结论中一定成立的是（ ）.

A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）

B.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1

C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）

D.函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

答案：D

四、函数单调性

此类题目通常考查函数单调性的判定或应用，且常与导数相结合，难度通常不是太大.对于单调性的判定问题，常见的解决方法有：利用定义（较烦琐，很少见）、利用导数（较常见，因为导数也是考点）、利用图像（适合选择、填空题）、利用复合函数单调性判断法则（常用于含有指数、对数或三角函数的复合函数）、利用关于单调性运算的结论（如增+增=增，增-减=增，增*增=增（要求函数值均恒正），-增=减）.至于单调性的应用，则主要有求最值和比大小.利用单调性求值域的问题前面已经提到，而比大小指的是在函数中，如果某一个区间上的单调性已知，则在此区间内，可由x1，x2与f（x1），f（x2）中其中一组大小关系，推断另外一组大小关系.其中常用的是将f（x1），f（x2）的大小关系转化为x1，x2的大小关系，因为这样可以省去代入函数中的运算.

例4 （广东理第4题，5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）.

答案：选

五、函数奇偶性与图像的对称性

此类题目通常考查函数奇偶性的判定与应用，难度不是太大.对于奇偶性的判定，则主要通过定义，先检查定义域是否关于原点对称，然后考查f（-x）与f（x）的关系，此外还可以利用关于奇偶函数运算的结论（如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶）.关于奇偶性的应用，则主要有两点：第一是微观上的，即考查互为相反数的两个自变量所对应的函数值之间的关系，第二是宏观上的，即通过原点某侧的图像推断原点另一侧的图像.

例5 （湖北文第6题，5分）已知定义在区间［0，2］上的函数y=f（x）的图像如图2所示，则y=-f（2-x）的图像为（ ）.

答案：选B

点评： 其实， 图像经过了以下的一些变换：y=f（x）

六、函数周期性

函数的周期性主要在三角函数中出现，对于一般函数，更多见的是“类周期函数”，即类似于周期函数的函数，这些函数在相邻两个“周期”内，解析式略有不同，例如满足f（x+2）=2f（x）的函数f（x）.周期函数与类周期函数主要考查函数自变量从某周期到另一周期的跳跃，而这个动作的基础则是从某周期到相邻周期的过渡和变换，因此这类题目的关键就是根据题目条件，做好过渡工作.另外，周期函数与函数的对称性密切相关，两个对称性（轴对称或中心对称）常常可以确保函数具有周期性（如果函数图像有两个对称轴，则周期为轴间距的2倍；如果有两个对称中心，且这两个中心纵坐标相同，则周期为两个中心横坐标差的2倍；如果有一个对称轴和一个对称中心，则周期为对称中心到对称轴距离的4倍），利用函数周期性画函数图像也比较常见.

例6 （重庆第7题，5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为［0，1］上的增函数”是“f（x）为［3，4］上的减函数”的（ ）.

A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.充要条件

分析：由f（x）是定义在R上的偶函数及在［0，1］上是增函数可知，在［-1，0］上是减函数，又2为周期，所以在［3，4］上也是减函数.

七、零点的分布问题

此类题目多在新课标地区出现，考查零点的存在定理：［a，b］上的连续函数f（x）在（a，b）内有零点的充分不必要条件是f（a）f（b）＜0；若f（x）为连续单调函数，则为充要条件.为此，此类题目只需判断端点函数值是否异号即可，通常难度不大.对于f（x）的图像容易被作出的情况，数形结合也不失为一种好的方法.现在利用零点存在定理解决综合问题也经常出现，这样的试题难度就很大.

例7 （辽宁理第11题，5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且 当x∈［0，1］时，f（x）=x3.又函数g（x）=，则函数h（x）=g（x）-f（x）在］上的零点个数为（ ）.

A.5 B.6 C.7 D.8

分析：由f（-x）=f（x），知函数f（x）为偶函数，所以f（x）=f（2-x）=f（x-2），所以函数f（x）为周期为2的周期函数，且f（0）=0，f（1）=偶函数，且g（0）=g（）=0.在同一坐标系下作出两函数在-［］上的图像，如图5，发现在］内图像共有6个公共点，则函数h（x）=g（x）-f（x）在］上的零点个数为6，故选B.

点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题.求零点个数问题的常规处理是将f（x）-g（x）=0变换化简（注意不要失根）为f（x）=g（x），其后一般用数形结合方法判断个数；在画图形时不要随意画，要正确判断函数的性质，尤其是单调性、最值，画准确的图像，否则是在用一个错误的“形”来判断“数”了.

八、函数图像

九、定积分

此部分内容为新课标新增内容，重点考查定积分的几何意义与计算，通常难度不大.定积分的几何意义即曲边梯形的面积，考生只需找出待求图形的边界对应的函数解析式，并找准积分区间，即可列出算式；至于定积分的计算，多采用牛顿-莱布尼茨公式，只需逆用求导公式，找出被积函数的一个原函数，然后代入积分上下限，作差即可.

例9 （山东理第15题，4分）设a＞0.若曲线ya，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=________.

十、分段函数

分段函数，即函数在定义域的不同子集合内，采用不同的对应法则.此概念对应题目多为简单或中档题.解决此类题目只要判断清楚待求自变量究竟在定义域的哪一个子集内就好了，如果不确定，则需进行讨论.至于分段函数与单调性、最值等问题的综合，只需在每一“段”内分别考察单调性、最值，然后综合考虑即可.

A.D（x）的值域为（0，1） B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数 D.D（x）不是单调函数

分析：A中，由定义直接可得，D（x）的值域为{0，1}.

D中，D（1）=1，）=0，D（2）=1，…，所以不是单调函数.

十一、复合函数

此概念比较容易理解，就是将内层函数的函数值代入外层函数，得到新的函数值；关键是分清谁是内层，谁是外层，若函数解析式已给出，则题目通常难度不大，若函数为抽象函数，则往往偏难.

例11 （重庆文第10题，5分）设函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=3x-2，集合M=｛x∈R|f（g（x））＞0｝，N=｛x∈R|g（x）＜2｝，则M∩N为（ ）.

A.（0，+∞）B.（0，1）C.（-1，1）D.（-∞，1）

分析：由f（g（x））＞0，得g2（x）-4g（x）+3＞0，则g（x）＜1或g（x）＞3，即3x-2＜1或3x-2＞3，所以x＜1或x＞log35；由g（x）＜2，得3x-2＜2，即3x＜4，所以x＜log34.故M∩N=（-∞，1）.

十二、指数、对数的运算性质

A.x＜y＜zB.z＜x＜yC.z＜y＜xD.y＜z＜x

十三、导数、切线问题

此部分内容主要包括两种题型：一是求导函数或导数值，二是利用导数求切线，两类题目主要考查学生的运算能力，难度适中.求导函数只需牢记8个基本求导公式，掌握四则运算的导数运算法则和复合函数的运算法则即可（用定义求导数的题目非常少见）；对于求导数值的题目，通常就是先求出导函数，然后代入自变量；求切线的问题，关键在于是否已知切点的横坐标，若已知，则将其代入函数可得切点纵坐标，代入导函数可得切线斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；若切点的横坐标未知，则通常设其为t，然后用点斜式算出切线方程（含t），然后再借助其他条件求出t，则此时切线方程随之确定.

例13 （广东理第12题，5分）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为________.

分析：y=x3-x+3⇒y′=3x2-1⇒y′|x=1=2

⇒切线方程为y-3=2（x-1），即切线方程为2x-y+1=0.

十四、反函数

新课程中删去了反函数的一般定义和求法，因此，仅在大纲考区出现此类问题，难度不会太大.这类问题主要考查学生是否熟悉原函数与反函数之间的关系，代数上，原、反函数的定义域与值域进行了互换，反函数的解析式可由原函数经“一（反）解二换（元）三注明（新的定义域）”的三部曲得到；几何上，原、反函数的图像关于直线y=x对称.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥0） D.y=x2+1（x≥1）

答案：选

十五、函数极限

A.不存在 B.等于6 C.等于3 D.等于0

分析：分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.

点评：对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键.