提高学生运算能力的思考与尝试

●黄泽航 (杭州市清河中学 浙江杭州 310008)

1 问题的提出

在教学过程中，常有学生在最基本的运算中出错.笔者有幸参加了2011年浙江省杭州市数学中考阅卷，在对第20题的阅卷过程中笔者做了一些统计(抽样50份试卷).该题是一道以杭州市举办的国际动漫节为载体，用7届动漫节的成交金额为变量编制的统计题.考生的解答不容乐观，有48名考生列出了方程：65.3(1+x)2=128，但只有6名考生算出了结果x≈40%.其他考生卷面上虽有运算过程和改划印记，却得不到正确答案，可见考生在考试过程中为计算此题花费了很多时间，进而影响了后续解题的信心.

2 问题的分析

2.1 归因分析

(1)数学教材删除了“繁、难、偏、旧”，却没有夯实运算的基础.

新课程摒弃了数学运算中的“繁、难、偏、旧”，本应更能促进学生数学运算能力的发展，但在使用过程中，发现存在一个普遍存在的问题：运算的不足成为新课程的软肋.笔者使用过华师大版(一轮)教材和新浙教版(两轮)教材，都强调数学思想方法，发展学生运用数学的能力，但都在不同程度上削弱了数学基本技能，无论在内容上还是教学时间上，都没有关注到学生实际的出发点、发展的过程和后续学习的需要，很多运算的教学内容和课时的安排值得探讨.

(2)数学课堂需要的是“静水深流”，尤其是在数学运算技能的教学上.

新课程强调学生的主动探索、分组讨论、交流合作的参与式课堂教学，多元化的课堂教学模式遍地生花.在运算教学中，笔者曾在2个班级中分别使用课件、视频、投影模式和粉笔黑板传统模式，当堂测试后分差明显异常，采用课件模式的班级学生运算错误多.笔者发现课件模式下的运算演练、步骤对于学生来说就好比游客在风景如画的胜地走马观花.

(3)数学素养需要的是“淡泊宁静”，使学生在运算能力上达到致远.

学生在课堂中的诸多行为都带有社会的印记，信心饱满得自负(或觉得什么事都不能做好而气馁)，心浮气躁，意志力脆弱，不能坚持完成作业.在做运算题的过程中，跳步骤，不打草稿，乱涂乱改，写错符号、数字，依赖计算器，盲目追求完成的速度，不检查、验算等不好的解题习惯，为日后的计算能力差落下了病根.

2.2 思考策略

2.2.1 思考

2.2.2 策略

要提高计算能力，首先要熟练掌握各种运算法则，在运算过程中，尽量不要跳步，计算要有层次，在初一时应养成宁慢不错、一遍算对的好习惯，在初二、初三时在保证正确率的同时提高运算的速度.

当然还要多做练习.这里说的“多”是高质量的“多”，不单是数量上的“多”.多做题，多见题才能见多识广、积累经验、熟能生巧，坚持不懈的努力就能提高运算能力.

在具体运算中，要一看、二想、三动笔，即要仔细看明白题目的特点，认真想一想如何运算最科学有效.看清了，想好了，再动笔运算，特别是要养成速算、巧算的习惯，要注意领会教师的方法.能速算、巧算是运算能力强的突出表现.

3 操作尝试

3.1 态度

无可否认，“态度”并不是一种提高运算能力的技巧，但是教师积极的态度是有效教学的基础.

3.2 对时间的利用

时间是一个有价值的资源，但是仅仅通过增加时间来提高学习效率并不像它表面上所表现出来的那样简单，不同类型的课堂时间会以不同的方式对学习产生影响.在八年级(下)一元二次方程的解法——配方法教学课堂时间的分配如表1.

表1 配方法解一元二次方程的课堂时间分配

当从分配的时间过渡到学术性学习的时间时，时间与学习的关系就变得更加紧密了.在那些学生被吸引进来并取得成功的课堂上，学生的运算水平取得的成就很高，能体验到胜任感和自我效能感，同时他们对主题的兴趣也会有所增加.

3.3 组织

组织是一种基本的教学技能，它包含按时开始、提前准备材料、设立惯例和常规，以及能增加教学时间的其他活动.良好的组织能力可使教师尽可能多地将课堂时间用于教学.

常规对教师来说同样重要.研究指出，任何领域的专家都拥有尽可能多的常规化的程序，这可以减少他们工作记忆的负担.常规也带来了秩序和平衡感，学生有对平衡的内在需要，在有序的环境中比在混乱的环境中能学到更多的知识.在数学运算的教学中，教师不能忽略常规的内在价值，为运算的好习惯打下坚实的根基.

3.4 沟通

有效的沟通可以促进师生的互动，有助于优化运算过程和运算方法的训练.有效沟通的4个方面(确切的术语、前后关联的谈话、转换信号、强调重点)对学习特别重要.数学课堂中不应有模糊不清的术语，在交流中使用如“可能、差不多、也许”等术语会给学生留下一种对内容不确定的感觉，这种不确定性会损害学习.关联的谈话使得教学内容连贯，顺序恰当不混乱，花费的时间最小化.数学运算方法的转换需要教师发出明显的信号，因为并非所有学生的认知都集中于同一个地方.教师提醒学生知识点有所转换，使他们有所调整并做好准备.强调重点是指通过言语和声音提示以及重述来提醒学生关于某节课的重要信息.

3.5 聚焦

关注引入可以吸引学生的注意力并为一堂课提供框架，使注意力在整堂课中都能得以维持.可经常借用数轴、模型、图形等化抽象运算为具体运算，例如用数轴来展示一元一次不等式(组)的求解，用图形的面积来展示乘法公式及恒等式的意义.

运算过程的板演可用于保持学生在学习活动中的注意力，笔者的演示和借用工具让学生的注意力能够聚焦于此，同时也提供了一个参照示范模型以帮助其对抽象的原理概念化.要以高质量的例题来组建课程，这些例子不仅能提供给学生在构建理解时所需要的信息，而且也为学生提供了能维持他们注意力的感官焦点.

3.6 反馈

及时对学生的准确性和适当性给予评价，对促进学习的重要性是毋庸置疑的.反馈使得学生对其背景知识的掌握程度作出评估，同时还提供了自身知识建构的有效信息，有助于满足学习者了解自己的进展情况的内在需要.

有效的反馈是在学生回答后立即或很快给予的.同样，在考试时，立即反馈常常比延迟反馈更能促进对困惑的理解和难点的认识突破.当然对一部分主动深入探索的学生来说，考试的第二天再讨论试题比完成考试后立即讨论可能更有效，因为延迟讨论可以给学生以充足的时间来阐述他们最初的思考.然而，接受反馈可以帮助他们巩固知识或重新构建自己的理解.

3.7 提问

提问有助于提高学生的审题能力，能促进学生思维的灵活性.一个善于提问的教师能够评估学生的背景知识，使学生能够重新思考他们的观点，帮助他们建立知识之间的联系，重新抓住学生飘忽不定的注意力，促进学生的成功以及提高他们的自我价值.提问也是一种能保持一堂课的进度和推动学习势头的工具，是维持学生积极参与的重要因素.

有技巧性的提问是非常复杂的，但是随着实践、专业知识和经验的积累，教师的确能成为此方面的专家.为了避免加重自己工作记忆的负担，教师需要练习提问策略以达到自动化的水平，这样就可以给课堂留出足够的时间来监控学生的思考和评估其在学习上的进步.有效的提问应是频繁的，是公平分配的，是可以运用提示的，允许有适当的等待时间.

3.8 复习和巩固

在总结和归纳教学方法思想时，复习和小结能使整堂课变得更加连贯，它可以在一堂课的任一时间点上发生，尽管它在课堂的开始和结束时是最常见也是最明显的.有效的复习强调重要的知识点并鼓励学生对此进行精细加工.复习常常也包括更多简单的复述，可使学生的注意力从逐字逐句的细节转移到所学材料概念间的关联上来.

例如，在八年级(下)一元二次方程的解法——公式法教学中，新课开始时对配方法的复习，是为了学生对于求根公式推导的理解，是作为公式法的背景知识，因此本节课开始时应认真地复习以下知识：

配方法

巩固是进一步对学习内容总结概括和整合.当教师教一种运算时，有效的巩固形式是让学生能解释运算的原理，以此原理解决另外一些习题，这样把运算的精髓留给了学生并为后来的课程打下了良好的基础.

4 成效与方向

4.1 成效

笔者以九年级(上)二次函数中求解析式为例展开，从课例的设计、思考来阐述笔者的实践成效.

学生已有知识和能力：解二元一次方程组(可提升为多元)，因式分解中的十字相乘法，一元二次方程的配方法、韦达定理的运用，这些是二次函数解析式所必须的知识储备，即决定学生应该知道什么、重视什么或能够做什么.

需要的例子：

求下列二次函数的解析式.

(1)当 x=1 时，y=-8;当 x=-1时，y=0;当x=0时，y=-6.

(3)函数图像顶点为(1，-8)且经过(-2，10).

(4)对称轴是直线x=1，且函数有最小值-8，经过点(4，10).

(5)函数图像交 x 轴于点(3，0)，(-1，0)，且经过(0，-6).

(8)函数图像.

下面是同一个函数的4种不同表达式：

求根公式

这个过程中包含以下4步：(1)识别运算主题的构成：学生应理解的概念、原理和它们之间的关系;(2)为运算主题包含的成分排序;(3)准备能帮助学生建构对运算主题的每一成分的理解的具体实例;(4)排列例子的顺序，首先呈现的是最显而易见的例子.

二次函数解析式是刻画2个变量x和y的对应关系，是学习函数图像和性质的基础，解析式决定了图像的形状、位置、大小、函数的单调性、最大(小)值.学习者对函数的解析式必须理解透彻，能对以下4种表达式所对应的已知条件作出合理的选择，避免增加运算的难度.

待定系数法求解析式思维过程：先设后代，转化为解方程(组)，再代回.学生对解决问题的思路是熟悉的，关键是如何作出合理的选择.需要教师分解、整合已知条件和基本原理，并试图找出它们之间的关系，为运算的简捷做准备.

在组织运算教学中，黑板上的板书示范是课堂教学的重点，同样，题目以板书的方式呈现可以避免学生的突兀和生疏，吸引和保持学生的注意力，引领规范，算理清晰.分析、思维、板书同步，保持一致性，让学习者聚焦于运算的变换更迭中，突出易错点，鼓励批判性思维的发展.逆向运算、思维顺畅和快速的验算过程可保证运算的成功.

由于评估发生在学生参与学习活动之后，因此很容易认为考虑评估也是发生在学习活动实施之后.事实上，教师需要在准备目标和学习过程的同时开始考虑评估，应该集中在“如何挑选并设计评估来检测学生究竟学到了多少知识”这个问题上.

在计划教学活动时，笔者准备了一个包含3个方面的小测验，如下：

(1)求二次函数的解析式.

①二次函数的图像经过点(0，-3)，(2，-3)，(3，0).

②二次函数的图像经过3个定点(-1，0)，(3，0)，(0，-3).

③二次函数的图像的顶点为(1，-4)，且过点(4，5).

(2)请在函数图像上给出一些点，并写出与之对应的函数解析式.

(3)看二次函数的4种表达式，你能解释它们的各自意义吗，能进行它们之间的等量变换吗?

评估是否有意义，应从3个方面来看：首先，评估的形式与开展学习活动是否一致，并且两者都是在计划课程时就思考好的，在课堂上使用详细、具体的例子，同样也用详细、具体的例子来评估学生的运算能力;其次，在计划过程中考虑评估时，应向自己提出“如何确保教学和评估、目标相一致”这样的问题对促进学习是最基本的;第三，学生的学习环境除了是知识中心、学习者中心外，还应以评估为中心，这就意味着评估不是附加在课程后面用来作为给个分数的工具，而是整个教学过程一个有机的组成部分.

运算能力是思维能力和运算技能的结合，是解决问题的一种必备能力.笔者在课堂教学中关注运算的细节，注重通解通法及题串的设置，整理分析易错点，合理运用数学工具，化抽象思维为形象思维，强化和突出了运算过程的常规，从学习者的角度来理解教学.学生在运算方面的正确性、合理性、灵活性和简捷性取得了一定的成效，在各类测试中笔者任教班级学生的数学成绩显著好于其他班级.

4.2 方向

在实践中笔者发现：学生思维灵活性的不足影响着运算能力的提升，引导学生在一题多解中快速地选择简单而行之有效的方法，有待于进一步的思考与探索.

［1］ 埃根，考查克.教育心理学［M］.6版.郑日昌，译.北京：北京大学出版社，2009.

［2］ 蔡亲鹏，陈建花.数学教育学［M］.杭州：浙江大学出版社，2008.

［3］ 华应龙.我这样教数学［M］.上海：华东师范大学出版社，2009.