“随机事件的概率”一课的赏析与思考

●谢尚志 (温州市第二十三中学 浙江温州 325000)

2011年10月19日“浙江省高中数学课堂教学评比暨有效教学论坛活动”在丽水中学举行，笔者作为名师工作室学员，有幸观摩了本次活动，感受了不同风格的课堂，也领略了不同地区优秀教师的风采.特别是获得本次评比活动第1名的温州中学孙军波老师的“随机事件的概率”一课，其和谐的师生互动、活跃的数学思维、自然的思维过度、异彩纷呈的生态课堂，令笔者耳目一新、如沐春风.下面是笔者对该节课的几点体会及对今后教学的启示，望与广大同仁交流学习.

1 课例赏析

1.1 名诗导入——掀起情感浪潮

导入环节虽是教学过程中短暂的一段，但由于是师生课堂交往的最初阶段，因而师生之间的信息感应和接受都是强有力的.孙老师以自己去泰山游玩为题材，结合一句名诗“会当凌绝顶，一览纵山小”设置问题导入.

问题：“会当凌绝顶，一览纵山小”这种景象在登泰山时一定能看到吗?

此问题情境的创设新颖、精致，不仅能快速集中学生的注意力，激发学生的兴趣，将学生的思维“锁”定本节课的重点内容之一——随机事件的概率，又充分体现了数学教师的人文修养.对于一名优秀的教师来说，在组织建立课堂秩序及传授知识的过程中，积极得体的语言表达以及通过语言表现出来的气质、修养、情感等个性特征和人格魅力，以及对学生表现出的鼓励、期望等种种良性暗示，都会构成一个强大的信息冲击波，在学生脑海里留下深刻的印象，掀起积极情感的浪潮.

1.2 有效实验——演绎数学本源

通过学生亲自动手实验，体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，由此给出概率的统计定义，这是本节课的主要任务.在此环节教学中，孙老师始终围绕着“随机事件的随机性以及随机性中表现出来的规律性”这一核心概念进行实验设计和实验结果分析.

实验1 学生抛硬币实验，回顾频数、频率等概念.

要求 全班每2个人一组，每小组实验10次，每小组安排一人抛掷，一人记录硬币“正面朝上”的次数，填入书上的表格.

分析Excel采集数据并做出折线图.

问题1 与其他小组实验结果比较，你和他们的结果一致吗?为什么会出现这样的情况?

问题2 大家做出来的，正面朝上的频率并不都是0.5，跟我们的猜想有出入，那是什么原因?

问题3 书本上要大家将小组的结果加起来，再将全班的结果加起来，目的是什么?

问题4 如果同学们再重复一次上面的实验，全班的汇总结果还会和这次的汇总结果一致吗?如果不一致，你能说出原因吗?

实验2 计算机模拟抛硬币实验，摸拟5组抛1 000次实验.

分析Excel采集数据并做出折线图.

问题5 Excel左侧是大家的实验所得的频率，右侧是1 000次的摸拟实验的频率，通过对比，能发现什么现象?

再用计算机摸拟，在相同条件下，实验1 000次的过程，记录其中每抛一次，所对应的频率变化.

问题6 通过摸拟实验，你观察到了什么现象?

实验3 介绍历史上一些抛硬币的实验结果.

分析将历史上的实验结果做成折线图与实验1、实验2的统计图进行比较，引导学生观察、分析、归纳、总结出抛硬币实验正面朝上的规律性：随着实验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近.

问题7 概率用来度量可能性的大小，那正面朝上的概率是不是为确定的常数?

问题8 每次实验“正面朝上的频率”是不是都是相同的值?

问题9 能不能用某次实验的频率作为概率?例如将皮尔逊抛掷2 400次实验获得的频率0.500 5作为正面朝上的概率?为什么?

问题10 根据实验数据的图表分析，用哪个量做为“正面朝上的概率”比较适合呢?且对于一般随机事件来说，可以用什么样的方法来获得随机事件概率呢?

孙老师通过“学生的实验结果”、“计算机模拟掷硬币的实验结果”、“历史上一些掷硬币的实验结果”，以及统计表和统计图等手段，使学生感受到随着实验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动;再由特殊事件转到一般事件总结方法;最后进一步解释了这个常数(频率的稳定值)代表的意义.在学生经历上述过程后，教师再引导学生得出事件的概率的定义，很好地突破了本节课的教学难点.在整个过程中，教学步骤层次清晰，实验设计紧扣核心，问题解决演绎数学本源，同时体现了实验、观察、归纳和总结的思想方法.

1.3 情感渗透——宣扬数学文化

从课堂导入到随机事件的定义、研究随机事件概率的必要性，孙老师始终在“数学源于生活”、“数学是有用的”理念下进行教学设计与实施.在学生完成掷硬币实验后，孙老师又生动地介绍了历史上“棣莫弗”、“蒲丰”、“费勒”、“皮尔逊”等数学家的掷硬币实验，这不仅是实验数据分析的需要，又丰富了学生的数学史知识，体验了数学家们追求真理的严谨与执着，更是一次情感、态度与价值观得到熏陶与垂范的良机.在得出概率的统计定义后，孙老师又向学生介绍了“大数定律”及概率论先驱——瑞士数学家伯努利.在课堂小结环节中，孙老师引用张景中院士的一句话“概率论这门数学，就是研究大量偶然事件发生的宏观数量规律的学问”作为总结.在课后作业中，设计研究性作业——查阅“大数定律”、了解概率发展史.这样的设计既围绕着数学本质，又开拓了学生的数学视野，宣扬了数学文化，使学生在数学学习中经受了人类文明的洗礼.

1.4 自然过渡——保持思维流畅

学生思维活跃、流畅，课堂衔接自然、无痕，可以说是本节课的另一亮点.问题“向空中抛一支粉笔，一定会掉下来，属于哪类事件?一定会掉下来吗?”自然地突出了“事件发生的条件S”这一教学关键点.问题“杜丽射击一次，击中靶心是属于哪类事件?那为什么选派她参加奥运会呢?”无痕迹地将学生思维从随机事件分类的判断过渡到研究随机事件发生的可能性大小上来.游戏“抛掷2枚质地均匀硬币，定义一变量为X：若结果为2个正面，则X=2;若结果为1正1反，则X=1;若结果为2个反面，则X=0.现在同时抛掷2枚硬币一次，你猜X的值为多少，理由是什么?”看似掷硬币实验的一个简单“变式”，其实不然，它是课本实验的自然延续，保持了学生思维的连续性与课堂的流畅性，更是概念“精致”过程中不可缺少的环节.本节课中看似简单的一句话语、一个问题、一个游戏，无不反映出孙老师对“教什么”的深刻认识，以及对“怎么教”的有效把握，使学生的思维始终保持积极活跃，使课堂保持自然流畅.

2 课例思考

2.1 为什么要选择“抛硬币实验”

本次活动中执教“随机事件的概率”的6位教师，均以数学实验为本节课的教学核心，而且包括孙老师在内的4位教师选择了抛硬币实验，有1位教师重新设计了抛硬币实验，另有1位教师采用摸球实验，这也充分体现了教师“尊重教材，用教材教”的教学理念，但留给笔者一个思考：教材为何选择抛硬币实验?

2.2 有比抛硬币更“好”的数学实验吗

从笔者与其他观摩教师的交流与自身的教学实践发现，在非公开课、评比课上学生对抛硬币实验均表示出兴趣不浓，参与热情不高，做实验不按要求，甚至会出现玩耍、随意乱报数据等情况.因此，能否设计一个更“好”的数学实验替代抛硬币实验值得教师们去思考和尝试，如：

实验1 在画有等距平行线的纸上，随机地抛掷一枚牙签，研究牙签与平行线有交点的概率.

实验2 在画有“田”字格的纸上，竖直向上抛掷一枚硬币，研究硬币落在格内(即硬币不与边框相交)的概率.

实验3 打一篇英文稿件要输入很多字符(含26个英文字母、标点符号和空格等)，研究任意输入文章中的一个字符，是空格字符(即研究任意输入一篇英文稿件时键盘上空格键被敲击)的概率.

实验4 1个盒子里放着白棋与黑棋，一共30枚，要求一次只能摸出1枚棋子，记录颜色后要放回盒子里，问：盒子中有多少枚白棋，多少枚黑棋?

笔者认为，实验1、实验2虽能在一起程度上引起学生的兴趣，达到实验目的，但研究问题的出现不太自然，学生始终在教师的意识驱动下进行实验.实验3、实验4的设计源于学生的生活，研究问题的产生是自然的，问题的结果也是学生迫切想知道的，也就是说，实验在学生自身求知欲的驱动下进行.学生先通过提出解决问题的猜想，并动手实践，小组合作，全班讨论，在此过程中，加深对随机现象的认识，揭示描述概率的要素(频率)，探究通过频率的规律性来定义概率的过程与合理性，突破了教学难点.此外，学生对实验1～3中的概率值为一个固定常数并不能有一个完整的认识，然而实验4的设计更符合学生实际与教科书的设计意图.

3 对今后教学的启示

3.1 注重数学实验的核心教学价值

数学实验为自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式提供了可能，它的核心教学价值是使学生在实验中形成直观感知后总结出解决问题的方法和思想，培养学生观察、猜想、分析与归纳的能力.在教学中，除了让学生动手实践之外，更应该通过优化问题的设计，激活学生的数学思维，引导学生观察、分析实验结果并进行归纳、总结，注重引导学生用语言表达自己对实验过程和实验结果的看法，体现数学实验的核心教学价值.

3.2 体验数学概念形成过程的感悟

本节课最大的亮点莫过于“概率的统计定义”的形成过程的教学.《普通高中数学课程标准》指出：“……由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质.”概念形成的教学通常围绕着概念的核心展开，实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程，因此需要有一个从外到内、由表及里的过程.在学生经历概念形成过程中，教师要让学生体会数学思想方法，体验数学文化，理解数学本质.

3.3 设计聚焦概念核心的例题、练习

这次活动的6节“随机事件的概率”课中，有5位教师设计了类似如下例题作为概念巩固与应用：

某批羽毛球产品质量检查结果如表1所示.

表1 某批羽毛球产品质量检查结果表

(1)计算各个产品质量检查的频率;

(2)从这批羽毛球中任意抽取一个，是优等品的概率约是多少?

该问题的解决，只需凭学生已有知识或者教师直接告知学生“随着实验次数的不断增加，频率会稳定在一个常数附近”这一结论性知识就能轻易解决.这和本节课的教学重心是不相吻合的，更起不到“精致”概念的作用.

而孙老师用游戏来代替例题，这样的设计“实验味”很浓，又能给学生带来思维上的冲击，学生再次经历猜想、设计(实验方案)、观察、分析、归纳的过程，是概念中数学思想的重现，更有助于学生理解概念的本质.一个好的例题往往承载着概念的本质，蕴含着丰富的数学思想.在形成一个新的数学概念之后，设计聚焦概念核心的例题与练习是概念“精致”过程中不可替代的环节.