随机事件的概率课堂实录及反思

●孙军波 (温州中学 浙江温州 325014)

有效课堂教学的探究正在如火如荼地开展，“如何让学生在课堂中‘动’起来，如何让课堂真正地有效”成为大家关注的话题.笔者有幸参加了2011年浙江省高中数学课堂教学评比，以下为笔者在备课、上课过程中的一些想法，敬请大家批评指正.

1 备课困惑

随机事件的概率在初三的书本中就已出现，刚开始备课时感觉内容较单薄.但是几次讨论下来后，发现其实有几个问题没那么简单.

(1)为什么会想到用频率的稳定值来作为概率?

(2)为什么频率会越来越“稳定”?

(3)为什么抛硬币的频率稳定在0.5，而不是稳定在 0.500 1，或者 0.498?

(4)如何体现多次重复试验?

针对以上的困惑，通过多次讨论后，笔者认为，这4个问题恰恰是这节课的重点和难点，搞清楚它们也就弄清频率与概率的区别和联系.在多次磨课后，笔者做了这样的处理.

2 课堂实录

师：奥运冠军射击命中靶心也是随机事件，为什么还让杜丽去参加奥运会，而不是别人?

(微笑地指向一位女生.)

师：如果让这位女生去参加，有可能获得金牌吗?

(有，大家发出善意的笑声!)

师：那为什么不派她去呢?

生1：她获奖的可能性比较小，杜丽获得金牌的可能性比较大.

师：哦.随机事件发生的可能性有大小之分!初中就曾引进概率来度量随机事件发生的可能性大小.那如何获得随机事件的概率?杜丽的射击水平大家并不太了解，那我们就来研究熟悉的硬币.

(教师展示足球画面，并请出一位男生.)

师：假设你成为球队队长，你会选硬币的哪一面?

生2：正面.选反面也可以，两面出现的可能性一样.

师：大家都是这么认为的吗?

(众人点头.)

师：那能否想个办法说明硬币正面向上和反面向上的可能性是一样的?

生3：抛抛看，看一下正面和反面出现的次数是否一样?

师：好，就按同学说的，大家抛抛看.

(教师强调试验的各项条件，试验后汇总数据.)

师：为什么大家所得的试验结果，即频率并不完全一致?

(众人思索，有学生说次数不够多.)

师：次数如果够多，大家的结果会完全一致吗.

生4：在每一次试验中，试验结果就是不确定的.

(学生纷纷点头.)

师：书上要求每个小组将试验结果加起来，再全班加起来，这样做的用意是什么?

生5：想增加次数，体现多次.

师：那这样能不能严格代替多次重复试验?

生5：不能，毕竟硬币不一样，也不是同一个人，条件不一样.

至此大家明白，加起来只能是近似地看作增加试验次数，并且次数也不多，因此考虑借助计算机模拟.笔者模拟几组抛1 000次的情况，将其输入Excel，并制成图像，如图1所示.

图1

师：通过对比，我们能发现什么现象?

生6：随着试验次数的增加，频率接近于0.5.

师：这位同学的意思是对的，但是“接近”这词似乎不妥，抛10次时就有频率是0.5.仔细观察一下，在10次试验中频率的波动范围是多大?小组加起来后，频率波动范围多大?1 000次试验呢?该用哪个词表述更为准确?

生7：“稳定”.随着试验次数的增加，频率稳定在0.5附近.

肯定学生的回答后，接着教师用计算机模拟抛掷1 000次过程中，每抛一次后所对应的频率变化，并展示了历史上数学家的试验，让学生再次强有力地感受到“随着试验次数的增加，频率的值越来越稳定在0.5的附近”.

师：今天，我们站在伟人的肩膀上一起来讨论几个问题，其实大家早知道，正面向上这个事件发生的可能性大小是确定的.概率用来度量可能性的大小，那硬币正面向上的概率是不是某个确定的常数?

(学生们点头.)

师：每次试验正面向上的频率是不是都是相同的值?

学生们齐声回答：不是，频率具有随机性.

师：能否用某次试验的频率作为概率?例如，皮尔逊试验获得的频率是0.500 5，能否将0.500 5作为皮尔逊试验的概率呢?

生8：这次做出来是0.500 5，再做一次24 000次试验的频率不一定是0.500 5;我们再多抛几次可能就是另外的数了，概率应当是确定的数.

师：用哪个量作硬币正面向上的概率好呢?

(学生陷入沉思.)

生9：刚才通过试验，发现抛硬币正面向上和朝下的频率是随机的，但它会越来越稳定在0.5附近，可以考虑用频率的稳定值来作为硬币正面向上的概率.

(其他学生纷纷点头.)

师：显然不能用某次试验的频率作为概率.通过刚才的试验，发现硬币正面向上的频率稳定在常数0.5附近，因此大家都觉得频率的稳定值0.5作为硬币正面向上的概率比较合适.0.5即50%的可能性是硬币正面向上，也比较符合我们的客观认知.

至此，师生共同实现重点、难点突破，对频率和概率有了深刻的认识，学生已能自己总结频率与概率的区别和联系.

3 专家点评

本课例是笔者参加2011年浙江省优质课比赛的课堂实录，在比赛时得到了省内兄弟学校的同仁和与会的高中数学特级教师、专家的点评.他们提出了许多宝贵的意见和建议，引发了笔者更多、更深的思考，整理如下：

3.1 学会提问

教师在课堂上的主要任务是什么?任务之一是提问题，提好问题.模棱两可的问题往往会误导学生.数学问题不能随口而出，应该是画龙点睛，一语中的，直指本质.当然并非所有的环节都要提问，为得到某个结论，刨根问底没有必要.问题是自然而然产生的，上课要尽量展示学生原生态思维的发生过程，教师的问题一定要问得明白，要带有目的性、指向性.备课不仅要备教材，还要备问题.如本课中，根据学生不同的回答，加以适当地追问，自然地引出“稳定”.

3.2 适当留白

在课堂教学中教师如果一味地讲，不一定是好事.上课有时无声胜有声，让学生讲，让学生悟，比教师讲的效果可能更好.如为什么会选用频率的稳定值作为概率，讲出来很容易，但是把这个问题留给学生“选哪个量合适呢?”留下的空白，就是学生自己探索知识的空间.数学课堂应有语言的交流、思维的碰撞，并且应由师生共同构建、共同完成，一旦离开了这些，课堂就失去了生命力.

3.3 关注课本

数学教学要围绕数学的本质，关注课本.所有的教学环节，所有情景设计的目的只有一个就是揭示数学本质.什么是随机事件?为什么要研究随机事件的概率?怎么样去研究?我们讲的不是实例本身，而是围绕着数学本质，把这个问题讲清楚.课本中以抛硬币为载体，是否可以改变呢?如抛骰子、摸球，是否更有新意?这个问题不得不让我们再次关注课本，为什么在初中学习概率后再学习?为什么要选用硬币?为什么一定要试验?这么多的为什么不得不引起我们更深层次的思考.数学教学是把复杂的问题变得简单，把简单的问题讲清楚，让模糊的东西变得清晰.

4 几点反思

笔者前后磨了十几节课，节节都有新的感触，有2点特别深刻：

(1)为什么会想到用频率的稳定值?为什么会想到这个“稳定”?为什么抛硬币的概率是0.5?美国心理学家布鲁纳说过：探索是数学的生命线，知识不是灌输给学生，而是他们自然建构而成的.从刚开始教师一个人在讲台上“自言自语”，慢慢地过渡到学生自己发现随着试验次数增加，频率越来越稳定在0.5附近，到最后大家都能认识到用频率的稳定值比较合适，期间经历了十几节课.由教师告诉学生和让学生自己体验知识的产生过程，对问题的认识是完全不一样的，正所谓“自己动手，丰衣足食”!

(2)思维从问题开始，好的问题能使思维得到真正地提高，从开始的“对不对、好不好”，变成追问“为什么、如果我们这样做将……、书上这样设计的用意是什么、能严格代替吗”，到最后继续追问“用哪个好呢、怎么办”——学生的学习兴趣和思维深度反而被激发了出来，真正地“动”起来.本节课借助几个关键性问题突破难点.

笔者刚开始在备这节课时，感觉内容简单无聊，到最后觉得这节课挺有意思，甚至很想再上一次.但是平时的课能这么磨吗?平时上课，不可能如此磨课，那该怎么办?很多教师问：“能做到有效教学当然最好，但不教我具体方法又怎么做到这一点?”如果教师仅仅停留在这样程度的思考，那么高目标很难实现.课堂必须“动”起来，如果教师有这样强烈的愿望，就会千方百计地去寻找具体的方法.不去想，不认真思考，就什么都实现不了.有效教学我们可以做得更好!

［1］ 张景中，任宏硕.漫话数学［M］.北京：中国少年儿童出版社，2003.