数学教学中创造性思维能力的培养

王利勇

（河源市紫金县古竹中学，广东 河源 517400）

数学教学中创造性思维能力的培养

王利勇

（河源市紫金县古竹中学，广东 河源 517400）

培养学生良好的思维品质是发展思维能力的突破口，是提高教学质量的有效途径。多年来，我在教学中，广泛采用剖析“错在哪里”、寻找“解题新法”、注重“一题多变”、鼓励“大胆猜想”等教法，提高学生思维的深刻性、广阔性、灵活性和直觉性，从而有效地培养了学生的创造性思维能力。现结合教学实践，谈几点粗浅的认识和体会。

一、剖析“错在哪里”，培养思维的深刻性

学生的学习和思考，是在不断产生错误和纠正错误的过程中进行的。因此，教学中要允许学生出错，并根据学生在解题中存在的问题，多问“错在哪里？”，引导学生对解题过程进行反思。这样做有利于培养学生思维的深刻性。

【例 1】过双曲线3x2-y2=3的右焦点F2作倾斜角为π的直线AB，6交双曲线于A、B两点，求△ABF1的周长（F1是双曲线的左焦点）。

图1

图2

对此题的解答结果，我不急于表态，而是引导学生对解题过程进行反思：（1）这个结果是否有错？（2）如有错误，错在哪里，如何纠正？

在整个教学过程中，我都坚持引导学生反思解题过程，剖析“错在哪里”，从而有效地提高了学生思维的批判性、深刻性。

二、寻找“解题新法”，培养思维的广阔性

对同一个问题能从多个方面加以思考，对同一个对象能从多种角度加以观察，这就是思维的广阔性。在教学中，我喜欢采用不同形式，引导学生寻找“解题新法”。通过用不同的方法解决同一道数学问题，拓宽了解题思路，巩固了所学知识，激发了学生的学习兴趣，培养了学生思维的广阔性。

【例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比例，现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少时，经沉淀后流出的水中的该杂质的质量分数最小?

这题我首先引导学生加工、检索、提炼题中的数学模型关系：（1）2ab+2a+4b=60，（2）y=，从而把问题转化为求解给定条件（1）下的函数y=的最值问题。由于最值问题的求解过程有极具开放性。于是我采用多种形式，启发学生不断另辟蹊径，寻找“解题新法”。

紧接着，我提出新的解题方向，要求学生应用“均值不等式”寻找“解题新法”。借鉴于第一种解法，同学们经过类比、迁移，找到了两种新的解法：

解法 2（简解）：由（1）得 30=a+2b+ab≥2+ab0＜ab≤18。当且仅当a=2b=6时等号成立。

比较、讲评、总结了上面三种解法后，我把应用“判别式法”和“导数法”解这一道题的任务，作为家庭作业布置给学生。作业批改时，我发现绝大部分学生较好地完成了这一寻找“解题新法”的任务，给出了本题的第四、第五种解法（解法略）。

家庭作业的完成，燃起了学生寻求“解题新法”的激情。我趁热打铁，在任教班板报的“点将台”专栏上，给出了新的解题任务：“谁能在最短时间内，分别用‘换元法’和‘数形结合法’给出98年高考数学应用题的第六、第七种解法。”结果，第二天早修课，便有12位学生找到了满足要求的两种解法：

为了优化学生的思维品质，对类似于这一试题的典型数学题，我从不放过引导学生进行“解题新法”开放性研究的机会。通过多角度、多方位的思考研究，集多种解法于一题，既汇集了大量的信息，又覆盖了广阔的知识，活跃了学生的思维，培养了学生思维的广阔性。

三、注重“一题多变”，培养思维的灵活性

思维的灵活性表现为对知识的运用自如，既表现在不拘泥于陈旧的解题方法，能标新立异探索解题新法上，还表现在善于概括、迁移、触类旁通、举一反三，以深遂的洞察力应对一题的“千变万化”上。因此，我在教学中既重视“一题多解”，更重视“一题多变”，根据教学内容和学生的实际，有目的选择一些题目，引导学生进行延伸探索，借此提高学生思维的灵活性。

【例3】从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体的体积的几分之几？（高中《立体几何》（必修）习题十三的第1题）。

概括、归纳了这道题的解题思想和方法后，为拓展、延伸学生的知识视野，我补了两道变形练习题：

变形题1：如图，正方体的棱长为a，求点A到截面BDC的距离。

变形题2：如查一个三棱锥的各棱长都为a，它的四个顶点都在同一个球面上，求这个球的半径。

这两道练习题，学生对例3的解题方法稍加变化迁移，很快就找到了答案。为进一步激活学生的思维，我加了变化梯度，给出了两道新的变形题：

变形题 3：在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a学，求这个球的面积。

学生反思例3解题过程，经过类比、联想，悟出了解题思路：把三棱锥还原为一个正方体。于是很快找到了答案：

变形题 4、如图，ABCD、ABEF是正方形，二面角DAB-F的大小为60°，求异面直线AE、BD所成角的余弦值。

AE、BD两异面直线所成的角，根据常规方法不易找出。不少学生通过上述练习，积极思考：能否类比、方法迁移？经过尝试，把图形还原成平行六面体，易得结果为。

习题结论的抽象，源于对知识本质特征的揭示；递进问题的解决，源于对知识的融化、迁移和探索；规律的总结，源于对问题的变换和发散。通过这一系列的归纳、总结、延伸、扩展，学生的思维品质得到了优化，思维的灵活性得到培养。

四、鼓励“大胆猜想”，培养思维的直觉性

思维的直觉性，是指对问题的结果不经过逻辑思维，直接地、迅速地做出合理猜测的一种思维形式。这就是人们常说的“顿悟”；猜想是从个别的、具体的、特殊的现象中寻求共性，归纳出一般结论的思维过程。数学教育家波利亚曾向广大教师发出呼吁：“让我们教猜想吧!”为此，我在教学中总要安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间，使学生在实践和训练中，通过观察发现事物的内在规律，然后鼓励他们“大胆猜想”。多年的教学实践证明，这是发展学生直觉思维能力的重要手段。

大胆的猜想来源于大量的观察、探索，正确的猜想来源于正确的观察、发现。为了便于观察，突出对比，引发迁移，我首先引导学生列出如下数表。让学生置身于荷兰数学教育家弗赖登塔尔所倡导的“再创造”的情景中：

n 1 2 3 4 5… n n i=1∑i2 1 5 14 30 55 … ？∑i 1 3 6 10 15 … 1 n n（n+1）i=12

n 1 2 3 4 5… n∑ 1 5 14 30 55… ？∑i 1 5 14 30 55 … 12n（n+1）n∑i2 i=1 n∑i 33 53 73 93 11 3… 2n+13 i=1

这个表在量上的变化，为学生的思维在质方面的飞跃提供了条件。在对比、观察这个表的第一列和最后一列后，学生作出了大胆而正确的猜想：

肯定了这个猜想以后，我要求学生用数学归纳法证明这个猜想的正确性。

在培养学生思维直觉性的过程中，引导学生学会“实验——观察——猜想——证明”的思考方法，这是优化思维品质，发展学生的发现性思维、创造性思维的重要途径。在教学上，我始终把它当作一项重要任务来抓。

教师是教学的组织者、引导者和合作者。教学的一切活动都要围绕学生进行。在教学过程中，教师不仅要营造民主的课堂气氛，还要在概念的形成、结论的推导，方法的抽象等一系列知识的发生过程和能力形成的过程中，让学生自主去观察、类比、联想、猜想、讨论、交流，鼓励他们敢于质疑问难，把数学教学变为再发现、再创造的过程，使课堂成为学生表演的舞台，培养创新思维的乐园。

（责任编辑：张华伟）