逆用特征根方程求解一类自主招生和竞赛试题

●钱卫红 (嘉善高级中学 浙江嘉善 314100)

在自主招生考试和数学竞赛中，经常会遇到一类含有因式的代数综合题.它们看似与递推数列毫无联系，却可以逆用特征根方程构造递推关系，然后利用其递推关系因势利导，经过变形处理，从而达到证题的目的.

特征根法是求由常系数(齐次)线性递推式及初始值确定的递推数列通项表达式的有效方法.这里以二阶常系数线性递推式为例来说明.

设二阶常系数线性齐次递推公式为

定义 称x2=px+qx为式(1)的特征方程，其根为特征根.

定理1 设数列{xn}由初始值x1，x2及递推公式(1)确定.

(1)若式(1)的特征方程有2个不相等的特征根 α，β，则其通项为

其中A，B为初始值所确定的待定常数.

(2)若式(1)的特征方程有2个相等的特征根α，则其通项为

其中A，B为初始值所确定的待定常数.

根据定理1，可由{xn}满足的常系数线性齐次递推公式(1)及初始值 x1，x2，用特征根法求出{xn}的通项;反之，如果知道数列{xn}的特征根，那么也可用特征根法求出这个数列满足的递推公式，并用这个公式去证明数列{xn}应满足的各种结论.

1 逆用特征根方程证明一类存在性问题

例1对任意的正整数n，(1+)n都可表示为的形式，其中 s∈N+.

(2012年“北约”自主招生数学试题)

下面只要证明s∈N+，可利用二项式定理得到证明(本文不详细展开).

无独有偶，2012年浙江省高中数学竞赛的第20题，考查的也是这个问题，只是将具体的数字变为抽象的字母.

例2 设 p，q∈Z+且 q≤p2.试证对 n∈ Z+，存在 N∈Z+，使(2012年浙江省高中数学竞赛试题)

分析这是一个较有难度的竞赛试题，从题目的结构形式来看，可以从二项式定理、构造方程或逆用特征根方程去考虑.若逆用特征根方程，我们能导出该数列具有整系数的线性递推关系，则问题就可迎刃而解.

逆用特征根方程得数列{an}满足递推关系

因为 a1=p，a2=2p2-q，p，q∈Z+且 q≤p2，所以an∈N+.由

此类代数综合题在2005年复旦大学自主招生试题中也出现过：

2 逆用特征根方程证明一类整除性问题

分析可以从二项式定理求出sn的通项公式，从而求出sn的特征根.再用特征根法求出{sn}满足的递推关系，利用这个递推关系求出sn被8整除的一切正整数.

因为s1=1，s2=3，所以{sn}为整数数列.又由式(2)得

因5和8互质，故8|sn⇔8|sn+3.而 s1=1，s2=3不被8整除，s3=2s2-s1=8被8整除.因此 s3k+1，s3k+2(k∈N*)不被8整除，s3k(k∈N*)被8整除.

综上，使sn被8整除的一切正整数n=3k(k∈N*).

［1］ 熊斌，冷岗松.高中数学联赛考前辅导［M］.上海：华东师范大学出版社，2011：80.