例谈变式教学在数学课堂教学设计中的融入——以“圆的标准方程”为例*

洪燕君，熊谋举，穆永芳，陆琼(石河子大学师范学院，新疆石河子832003)

例谈变式教学在数学课堂教学设计中的融入
——以“圆的标准方程”为例*

洪燕君，熊谋举，穆永芳，陆琼
(石河子大学师范学院，新疆石河子832003)

我国数学教学中的变式教学已经成为一种较为成熟的教学理论，也是一种较为有效的教学方法，更可以作为一种教学理念融入数学课堂教学设计。本文以我们参与调研的一堂课“圆的标准方程”作为课例，从教学目标的定位、例题的精选精讲、教学的后期拓展等方面阐述了变式教学融入的课堂教学设计，为中学教师设计变式教学的数学课堂提供一个有益的参考。

变式教学;理念;融入

传统的数学课堂教学一般多采取演绎的方式，通过由概念引出概念，由思想引出思想，由命题引出命题，进行纯思想上、语言上的逻辑推理。虽然这种方法比较注重知识的科学性，但引入新概念、新定理或证明的动机是隐藏的，学生不容易对知识点获得深层次的理解，且这个教学形式很容易蜕变为“满堂灌”的课堂，从而使学生出现无意义的和机械的学习。［1］新课程标准指出:“应为学生探索求知创设合适的情境，重视从问题出发，设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程;要建立合理的数学训练系统，要向学生提供丰富的学习资源”。

为了改变传统课堂生硬抽象的教学弊病，更为了真正贯彻新课程理念，越来越多先进的教学理论和教学方法应运而生，走进数学课堂。其中，变式教学的理论就是近年来广受关注的研究课题，目前已经被许多一线的数学教师们广泛接受和应用，成为中国数学教学的特征之一。

一、变式教学研究概述

最早接触到“变式”一词，是邵瑞珍等(1982)编著的《教育心理学》，描述为“变式指概念的肯定例证在无关特征方面的变化。”［2］在曹才翰、蔡金法(1989)的《数学教育学概论》中，把“变式”作为“影响数学概念学习的因素”之一“感性材料或感性经验”的一个方面，描述为“变式是通过变更对象的非本质属性的表现形式，变更人们观察事物的角度或者方法，突出对象中隐蔽的要素，让学生在变式中思维，从而突出一类对象的本质属性。”［3］这在我国算是较早把“变式”引进数学概念教学的理论。但在实践中最早实施数学的变式教学，并把变式教学从理论到实践进行拓展、推进、发扬光大的，当首推数学教育专家顾泠沅先生和他的青浦县数学教改实验小组。早在1980年代初，他们就先进行了“利用变式图形进行几何概念教学”的实验，后又“把变式移植到代数的教学之中”，最后又“采用变式训练的方法开展数学习题教学”，成果丰硕。［4］这些年来，顾先生对变式教学的关注和研究一直没有中断过。2003年，他的学生鲍建生等(其实也都是著名的数学教育专家)撰文《变式教学研究》［5］，对顾先生的变式教学理论进行了全面而深刻的梳理和拓展，并找到国外相应心理学理论支撑，使得变式教学真正成为我国具有特色的数学教学方法，作为我国数学教育走向世界的一个成功案例。变式教学其实不仅限于数学教学，但在数学教学中变式教学却遍地开花，一片欣欣向荣。所以变式教学被张奠宙先生描述为“依靠变式提升演练水平”作为中国数学双基教学的四大特征之一［6］。

顾先生及其团队对变式教学的持续研究自然是我国数学变式教学的经典权威之作。也有少数数学教育研究人员对数学变式教学的理论有所拓展，如孙旭花、黄毅英、林智中关于“数学问题结构性变式的研究”等。而更多的中小学数学教师则是领会数学变式教学的理论和方法，将其直接应用数学教学活动中，这一类的相关研究就比较多了。但纵观这些变式教学的实践和理论研究，几乎都是将变式作为一种理论方法来进行数学概念的教学或者数学习题例题的教学等某个侧面的教学，比较少见的是，将变式教学作为一种思想理念贯穿于整个数学课堂教学设计中。本文就以我们参与调研的一堂高中数学课:人教A版必修2中“圆的标准方程”这节课的为例，谈谈变式教学作为理念在数学教学设计中的融入。

二、变式教学融入“圆的标准方程”课堂教学设计

1.准确定位教学目标，为变式教学立稳标杆

变式教学融入数学教学设计，首先要考虑的就是课堂教学目标的设计问题。变式教学中教师会有意识变换问题的角度和形式，让学生在变化中积极思考、归纳、比较，从而掌握事物的本质和规律。但同时我们要注意，无论如何变换问题的角度和形式，总有一点宗旨不能变，那就是:一切都必须围绕教学目标而行。所以我们在设计学习目标时，一定要准确定位，把握重点，找准难点，这样才能为变式教学立稳标杆，更好的把握新课程理念，做到“万变不离其宗”。

“圆的标准方程”这节课是在学习了直线与方程的基础上，来学习在平面直角坐标系中建立圆的标准方程，因此我们设置如下教学目标:

(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，也能从给出的圆的标准方程中识别出圆心、半径，并能判断任意点与圆的位置关系。

(2)会用待定系数法和定义法求圆的标准方程，在这个过程中要进一步体会数形结合的思想。

(3)能用所学知识解决实际问题，增强数学应用意识。

其中，教学重点为圆的标准方程的建立与应用，教学难点为体会形成用代数方法解决几何问题能力的思想，并会用数形结合的思想解决与圆有关的实际问题。准确定位了教学重点和难点，教师做到心中有数，在稳定的教学目标指导下，无论如何实施变式教学也都不会偏离正题。

2.精心选取课堂例题，多重变式达多维目标

众所周知，课堂教学中有许多的关键点，教师只有把握了教学的关键点，才能达到在有限的时间内不但能圆满地完成教学任务，而且还产生教学效益最大化。其中例题的选择和设计就是这样一个关键点，所以说例题的选择至关重要。

首先本着数学来源于生活，学数学是为了会用数学的观点，教师在圆的标准方程定义给出之后，可以选择具有生活情境的例题进行教学，比如我们选择书本中如下这道具有实际背景的练习题。

题目情境:赵州桥，建于隋炀帝大业年间(595－605年)，至今已有1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最古老的单肩石拱桥，是世界造桥史上的一个创造。若河水的水面跨度为20米，拱高4米。现有一船，宽10米，水面上高3米。

其次，在提出问题的层次上一定要注意围绕教学目标来设置。

(1)如果我们把赵州桥看成一段圆弧，请建立平面直角坐标系。

(2)根据前面的条件，请求出该圆的标准方程，并指出圆心和半径。

(3)请问，该船能否顺利通过该圆拱桥?如果能通过，请求出该船的通过区域。

我们看到这道例题的三个设问分别对应了该节课的三个教学目标，并且是由浅至深，层层拓展的。但是，需要注意的是教师在问题解析时，一定要对知识点有深刻的理解。如在处理第一个问题的时候，要分析不同建系方法的利与弊;第二个问题是本节课的核心，不但要求学生掌握“已知圆上三点用待定系数法求圆的标准方程”，以及利用三点形成的三角形由其外接圆圆心的定义来求出此圆的标准方程的方法，还要明确这两种方法的本质联系。提出第三个问题是锻炼学生理论联系实际的能力，让学生进一步明确学以致用这样的一个学习目的。

最后，我们还要注意选择的例题结果的呈现形式应该尽可能的简洁。虽然这道例题来自课后的一道作业题，但是经过计算我们发现该圆的标准方程求出来以后，圆心和半径都是用分数表示的，所以教师在备课设计时要充分考虑这个因素，尽量选择合适的数字条件，这样学生在计算过程中能把主要精力放在对知识的深层次理解上。

这节课关于例题这个环节的设计思路和教材的呈现方式完全不同，教无定法，贵在得法。我们在这个例题的选择和设计上，运用了由简单到复杂、由一般到特殊的数学思想，通过观察、归纳比较进行合情推理，有利于培养学生主动探究问题以及问题解决的能力，进一步地，例题的三个设问的解答对应达成了三个教学目标，不可谓不是精心酿制。

3.深度拓展例题再变式，使知识系统化板块化

在学习了“圆的标准方程”以后，紧接着下面会学到“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”的知识，因为这些知识之间有着本质的联系，所以我们可以对“赵州桥”的例题进行深度拓展再变式，将其继续改编以适应新的内容，其他条件不变，只需把“圆形拱桥”条件改成“椭圆、双曲线或抛物线的一段弧”即可。这样我们的学生就能体会到学到的这些知识虽然各有特点，但是又有着千丝万缕的联系的，认识到这些知识原来是属于同一个系统，同一个知识模块，提高了学生的知识结构意识。

进一步地，在“圆锥曲线”这个单元的复习课上，我们通过把赵州桥设计成是抛物线、圆、椭圆、双曲线的一段弧长。这些例题得到的结果用数形结合的方式同时呈现在黑板上，然后引导学生们一起观察分析其中的区别，这样“离心率”的概念就水到渠成了，整个过程一气呵成，却又形象生动。此例题的充分变式正印证了著名的数学教育家波利亚形象的观点:“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个”。［5］

从以上对“圆的标准方程”课堂教学设计的几个方面的阐述中我们看到，变式教学的恰当融入，不仅可以深化学生对圆的标准方程这个概念的理解，明晰数形结合等数学思想方法，还可以丰富学生的数学思维，活跃课堂气氛，加强数学与生活之间的联系及数学知识之间的联系。所以说，变式教学对我们广大一线教师来说应该成为一种教学中的常态。但是教师平时的教学不必拘泥于如何使用变式或使用何种变式，不必过于关注变式教学的理论如何模式如何等等，教师只需根据课程具体情况及学生的实际经验，把变式教学作为一种思想理念有机地融入课堂教学，就可以起到提高效率的作用。当然就一节课而言，变式也并不是越多越好，俗话说贪多嚼不烂，这样不仅会加重学生的负担，而且还会使学生对解题产生厌烦情绪，所以适度的联结知识点才能达到事半功倍的效果。

三、变式教学融入数学课堂教学设计的意义

1.变式教学的意义

有关变式教学的许多研究都表明，变式教学是促进有效的数学学习的中国方式。无论是概念性变式促进学生对概念的多角度理解，帮助学生理解概念的本质和建立本质的联系;还是过程性变式促进数学活动的有层次推进，构建一个活动经验系统，帮助学生理解知识的不同组成部分和完善知识结构，建立新旧知识的合理本质联系，在中国目前的大班教学的情况下都能使表面“灌输”的课堂学习变成有意义学习。正如顾泠沅先生所总结:通过对问题多层次的变式构造，使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学生积累活动经验、提高问题解决能力的一条有效途径［5］。众多的中小学教师的实践研究也证明，变式教学能“变出精彩”“提高学生参与数学活动的热情”“培养学生思维的广阔性”“培养学生举一反三、触类旁通的能力”“培养学生思维的科学性、变通性、深刻性”“培养学生的探索精神和创新意识”，提高数学数学素质。

一般而言，变式教学就是不断变换问题的条件和形式，而问题的本质特征不变的教学。变式教学中，一题多用，多题重组，这所有的变式形成一个有层次的经验系统，这是认知结构的一个重要组成部分。这种教学形式不仅能促进学生对知识点的理解以及知识点间内在联系的深刻认识，而且还避免了大量的重复运算，有效地提高了学生对知识的化归能力、分析问题和解决问题的能力，还使我们的数学课堂丰富多彩、生机盎然。

2.变式教学融入数学课堂教学设计的意义

由以上对“变式教学融入圆的标准方程的教学设计”的分析我们知道，所谓变式教学融入数学课堂教学设计，与一般的变式教学在实践中的运用从本质上说没有什么不同，也是遵循顾先生及其团队的研究成果，领悟他们的理论实质并在实际教学中践行。但在形式上，融入式的变式教学却要自由一些，而在思想上却又深刻一些。因为我们所说的融入，主要是指把变式教学作为一种思想理念，贯穿于课堂教学设计，甚至贯穿于整个的数学教学之中，使之成为教师们教学的一种常态，进入潜意识，达到行动自动化，并与其他先进的教学理念和方法整合，相得益彰，而不必拘泥于我们实际是使用的概念变式还是过程变式还是问题变式。我们认为，这才是变式教学在数学教学中运用的较高境界。这样的融入式变式教学，操作起来起点较低，因为它可深可浅、可宽可窄，教师教学设计时可灵活把握，学生的学习也相应具有灵活性。正因为我们不刻意追求理论的高深和模式的规范，门槛低，教师们把握起来才不会吃力，他们才愿意在日常教学中应用它，日久天长，变式教学就成为教师们的常态，自觉自发自动的进行，教学效率的提高自是水到渠成。

［1］徐章韬，汪晓勤，梅全雄.发生教学法－从历史到课堂［J］.数学教育学报，2010，(1).

［2］邵瑞珍.教育心理学［M］.上海:上海教育出版社，1983.

［3］曹才翰，蔡金法.数学教育学概论［M］.南京:江苏教育出版社，1989.

［4］青浦县数学教改实验小组学会教学［M］.北京:人民教育出版社，1993.

［5］鲍建生，黄荣金，易凌峰，顾伶沅.变式教学研究［J］.数学教学，2001，(1－3).

［6］张奠宙.中国数学双基教学［M］.上海:上海教育出版社，2006.

G633

A

1006－5342(2012)08－0176－03

2012－04－18

石河子大学SRP课题“课改背景下中学数学课堂设计的研究”(SRP2012002);石河子大学师范学院课题“信息技术环境下高中数学课堂教学设计的研究”(SFyj2011－02)