考虑剪切变形及转动惯量的H型钢梁自由振动*

李静斌，陈 淮，葛素娟

(郑州大学土木工程学院，河南 郑州 450001)

H型钢是一种典型的热轧型钢，在各种钢结构体系中均有广泛的应用。其中，最常见的结构应用是作为土木工程中的简支单梁。在进行结构动力分析或动力设计时，需要准确把握其动力特性，特别要求对自由振动频率进行精确求解。工程实践中，对H型钢梁进行自由振动分析，往往采用不考虑剪切变形及转动惯量影响的初等梁理论模型。对于长细比较大的梁，频率的计算误差可能还不明显;但随着梁长细比的减小，初等梁理论模型的计算误差将会越来越显著，从而不能满足工程设计必要的精度的需要［1－7］。本文通过对3种典型热轧H型钢截面简支梁自由振动频率的计算，对比初等梁理论和考虑剪切变形及转动惯量影响的高等梁理论的差异，以便为工程结构分析及动力设计提供一种简单易用的理论选用标准。

1 梁自由振动控制微分方程

考虑无阻尼直梁，设梁的弯曲刚度为EI(x)，单位长度的质量为m(x)，梁垂直于轴线方向的横向位移用v(x，t)表示，随时间和位置变化的外力用p(x，t)表示。根据D’Alembert原理，引入横向剪力V(x，t)及横向弯矩M(x，t)，由力平衡条件可以得出［8－9］:

对于自由振动的情况，方程(2)的右端为0。考虑等截面直梁，即EI(x)=EI，m(x)=m，则等截面直梁自由振动微分方程可简化为:

对方程(3)的求解可采用分离变量法，引入参数β4=ω2m/EI后，可将梁自由振动的振型函数设为 φ(x)= C1sinβx+C2cosβx+C3sinhβx+C4coshβx，代入梁端边界条件，可求出4个待定常数 C1，C2，C3和 C4。

以简支梁为例，代入x=0及x=L处的边界条件 v(0，t)=0和 M(0，t)=0，可得C2=C3=C4=0，并可导出频率方程C1sinβL=0，因C1≠0，故可解得初等梁理论等截面简支直梁的自由振动频率:

2 考虑剪切变形及转动惯量的梁自由振动

在方程(2)或(3)的推导过程中，忽略了与梁截面转动有关的惯性矩，并忽略了梁中因剪切变形引起的挠曲。若考虑剪切变形及转动惯量的影响，则等截面直梁自由振动微分方程为:

仍考虑1个两端简支的等截面直梁，假定其解的形式为v(x，t)=Csin(nπx/L)sinω'nt，该式满足梁两端的边界条件。其中ω'n为考虑剪切变形及转动惯量影响的梁自由振动频率，相应地，(4)式中的ωn为不考虑剪切变形及转动惯量影响的梁自由振动频率。定义Ωn=ω'n/ωn，则梁的频率方程为:

如果假定nr/L≤1，则方程(6)中含(nπr/L)4的项可忽略不计。故考虑剪切变形及转动惯量影响的等截面简支直梁的自由振动频率为:

由(7)式可见:ω'n＜ωn。分母中的项(nπr/L)代表由转动惯量产生的修正项，(nπr/L)2(E/(κG))则代表由剪切变形产生的修正项。显然，长细比L/r越小，剪切变形及转动惯量对频率的影响越显著。

3 H型钢简支梁自由振动频率计算

H型钢是世界各国广泛使用的热轧型钢，与普通工字钢相比，其翼缘内外两侧平行，便于同其他构件连接，目前在钢结构设计中正逐步替代普通工字钢。热轧 H型钢有3种类别，即 HW，HM和HN。从每一种类别中分别选出1种典型型号，具体型号及截面参数见表1。表1中剪应力不均匀系数κ根据公式κ=Aweb/A近似计算得出，其中Aweb为H型钢截面的腹板面积，A为H型钢截面的全截面面积。

钢结构设计中，H形钢梁的设计长细比L/r在20 ～50 之间，故计算中共考虑 20，25，30，35，40，45和50共7种长细比。此外，钢材的弹性模量E=2.06×1011N/m2，剪切模量 G=0.79 ×1011N/m2。将上述参数分别代入式(4)及式(7)，可计算出初等梁理论和考虑剪切变形及转动惯量影响的高等梁理论的简支梁自由振动频率。计算所得前3阶频率下的自由振动频率分别见表2～4。

由表2～4可见:随着H型钢梁长细比的增大，根据初等梁理论计算得到的简支梁自由振动频率相对高等梁理论计算得到的简支梁自由振动频率的误差逐渐减小。为了能够更加直观地比较2种梁理论在自由频率计算结果上的差异，下面将表2～4中所列各阶频率描绘成图，见图1～3。

如图1～3所示，图例中的A型梁代表HW200×200×8×12，B型梁代表HM300×200×8×12，C型梁代表HN400×200×8×13。

表1 典型热轧H型钢型号及截面参数［10］Table 1 Typical hot－rolled H－shape steel models and parameters

表2 H型钢简支梁自由振动频率(HW200×200×8×12)Table 2 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HW200×200×8×12)

表3 H型钢简支梁自由振动频率(HM300×200×8×12)Table 3 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HM300×200×8×12)

表4 H型钢简支梁自由振动频率(HN400×200×8×13)Table 4 Free vibration frequency of H－shape steel beam(HN400×200×8×13)

4 计算结果分析

由表2～4及图1～3可知:随着长细比的增大，采用初等梁理论计算的自由振动频率的误差逐渐减小;低阶频率的误差小于高阶频率的误差。另一方面，由表1可见:HW型钢的剪应力不均匀系数κ小于HN型钢的剪应力不均匀系数，而κ越小，在式(7)中由剪切变形产生的修正项对频率计算精度的影响越显著。因此，在同样的长细比下，HW型钢简支梁频率的计算误差最大，HN型钢简支梁频率的计算误差最小。

图2 H型钢梁第2阶频率Fig.2 2nd frequencies of H －shape steel beam

图3 H型钢梁第3阶频率Fig.3 3rd frequencies of H －shape steel beam

对于HW200×200×8×12简支梁的1阶频率，当长细比大于等于35时，初等梁理论计算结果的误差小于5%，精度可以满足工程要求;但对于其第2阶、第3阶频率，初等梁理论的计算误差均大于5%。

对于HM300×200×8×12简支梁的1阶频率，当长细比大于等于30时，初等梁理论计算结果误差小于5%，精度可以满足工程要求;但对于其第2阶、第3阶频率，初等梁理论的计算误差均大于5%。

对于HN400×200×8×13简支梁的1阶频率，当长细比大于等于30时，初等梁理论计算结果的误差小于5%，精度可以满足工程要求;但对于其第2阶、第3阶频率，初等梁理论的计算误差均大于5%。这说明采用初等梁理论求解简支梁的高阶频率，其计算精度通常难以满足工程设计要求。

5 结论

(1)对于各种H型钢截面简支梁的第1阶频率，当长细比大于30时(HM截面为35)，采用初等梁理论得到的计算结果的误差在5%以内，可满足工程需要。

(2)对于各种H型钢截面简支梁的第2阶及更高阶频率，在常用长细比范围内，采用初等梁理论得到的计算结果的误差均超过5%以内，不能满足工程要求。

(3)在计算长细比较小的“短梁”的第1阶频率或各种长细比H型钢截面简支梁的高阶频率时，必需采用求解精度更高的考虑剪切变形与转动惯量影响的高等梁理论模型，计算结果方可用于工程分析或动力设计。

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