无界域上一类半线性波动方程的全离散谱格式

黄 瑜，徐承龙

（1.同济大学 数学系，上海200092；2.南京信息工程大学 数理学院，江苏 南京210044；3.上海市科学计算E－研究院及上海市科学计算重点实验室，上海200234）

近年来无界或半无界区域上的谱方法越来越受到广大的关注.这主要是因为谱方法的高精度和无需强加人工边界条件等优点.对于无界区域上的问题，Guo和 Xu［1］考虑了权函数为e－x2的 Hermite多项式作为基函数的逼近问题.其他还有很多关于将Hermite多项式作为基函数作逼近的文献［2－3］，但其中大部分的权函数都是非一致的，从而会加大在理论分析和数值实现过程的复杂性.因此一些学者考虑采用 Hermite函数作为基函数来逼近［4－5］.

本文主要讨论无界域上的带强阻尼项的半线性波动方程

其中未知函数u＝u（x，t），而g（x，u）是给定的一类关于x和u的非线性函数，例如形如ua的幂函数，g满足的非线性假设条件将在下文中给出.问题的初始条件为

带有阻尼项的波动方程弱解的存在性已经有很多文献讨论过［6－9］，但是关于这类波动方程的数值解却研究得较少.Macías－Díaz和 Puri［10］给出了有界域上的一类带有弱阻尼项的波动方程的有限差分格式.Gülle［11］对一类强耗散波动方程建立了关于时间的周期问题的三层差分格式，其收敛速度是O（Δx2＋Δt2）.

对于问题（1），（2），笔者采用一类新的 Hermite函数，即 Hermite多项式乘上e－x2／2，作为基函数来逼近.由于随着多项式项数N的增加，Hermite多项式的零点分布在整个无穷区域上，从而不需要再截断成有界区域计算.文献［12］成功运用这种方法研究了Dirac方程的数值解.由于方程（1）中强阻尼项Δut以及非线性项的出现，相应理论分析及数值计算更难于处理.

1 Hermite函数的性质和逼近结果

为了方便起见，记Sobolev空间L2（R），Lp（R），L∞（R）和Hr（R）相应的范数分别为‖·‖，‖·‖Lp，‖·‖∞和‖·‖r.L2（R）与Hr（R）上的内积记为（u，v）和（u，v）r.｜·｜r表示Hr（R）上的半范.

记Hl（x）为l次 Hermite多项式，定义l次Hermite函数为

易知其满足如下的递归关系［12］：

由Hermite多项式的正交性可知｛（x）｝在L2（R）上正交

且

设N为任意的正整数，PN为不超过N次的代数多项式集合.HN＝span｛（x），（x），…（x）｝，常数c与任意函数以及N无关.

引理1［12］对任意的φ∈HN，1≤p≤q≤∞，m为任意的非负整数

定义2个正交投影算子，L2（R）正交投影PN：L2（R）→HN为对任意的v∈L2（R），满足

H1（R）正交投影P1N：H1（R）→HN为对任意的v∈H1（R），满足

为给出投影算子的误差，定义算子A：Av（x）＝∂xv（x）＋xv（x）.对任意的非负整数m，定义空间（R）为（R）＝｛v｜v在R上可测，且‖v‖m，A＜∞｝，其相应的范数‖v‖m，A＝‖Amv‖.对任意正实数r，空间（R）由空间插值定义得到.因此可以得到如下投影算子的逼近性质.

引理2［12］对任意的v∈（R），0≤μ≤r，有‖PNv－v‖μ≤cN（μ－r）／2‖v‖r，A.

定理1 对任意的v∈HrA（R），r≥1

证明 由投影定理和引理2，得

设g∈L2（R），若

由Lax－Milgram定理可知式（11）存在惟一的解，且‖w‖2≤c‖g‖.在式（11）中取z＝v－，可得

因此

则有

定理2 对任意的v∈（R），0≤μ≤r

证明 只需证明μ为非负整数的情况，其他情况则可由空间插值得到.下面用归纳法证明.由定理1可知，当μ＝0时结论成立.假设

则由引理1知对任意的整数μ≥1，有

由定理1及

有

推论1 对任意的v∈（R），正实数r＞1／2，‖‖∞≤c‖v‖r，A.

设问题（1），（2）中的非线性项g（x，z）：R2→R上局部有界和可测的，对于任意的x∈R，g（x，·）∈C2（R）且存在正常数cj，j＝1，…，4，α∈［1，3］，及p，r0＞0使得对所有的x∈R一致成立；

若条件（A1）—（A5）满足，则对每个u0∈H1（R），w0∈L2（R），f∈L2（0，T；H－1（R）），问题（1），（2）对于任意的T＞0，在区间［0，T］上具有惟一的弱解u∈C（0，T；H1（R）），ut∈C（0，T；L2（R））∩L2（0，T；H1（R）），utt∈L2（0，T；H－1（R））＋L1（0，T；L2（R））［6］.

2 全离散格式

为了建立全离散格式，首先考虑问题（1），（2）的弱形式：寻找u∈C（0，T；H1（R）），ut∈C（0，T；L2（R））∩L2（0，T；H1（R）），utt∈L2（0，T；H－1（R））＋L1（0，T；L2（R）），使得对任意的ξ∈H1（R）有

其中u0∈H1（R），w0∈L2（R），f∈L2（0，T；H－1（R））.

运用 Hermite谱方法求解问题 （1），（2）.设τ为时间步长，T＝nTτ，Rτ（T）＝｛t＝kτ｜k＝1，2，…，记

问题（1），（2）的全离散格式为：寻找uN∈HN，使得对于任意的Ψ∈HN，有

于是在每个时间层上，需要求解下列方程：寻找uN（t＋τ）∈HN，使得对于任意的Ψ∈HN有下式成立：

其中xj是Hermite－Gauss点.

下面分析离散格式的收敛性和稳定性.首先证明格式（15）的收敛性，设UN＝.由式（14）可知，对任意的Ψ∈HN，当任意的t∈Rτ（T），有

初值满足

设＝uN－UN，式（15）减去（17），得

其中

初值满足

对任意的s∈Rτ（t－τ），根据（A6），推论1，引理1和Cauchy－Schwarz不等式，对于r＞1／2，可得

其中C＊（u）是仅依赖于‖u‖L∞（0，T；HrA（R））的正常数.

由定理1和文献［13］中的引理4.6，可得

其中C1，…，C6是与N，τ无关的正常数，Cg＝

将式（21）对s∈Rτ（t－τ）求和，利用式（22）—（25）和Young不等式得到

其中C7，C8，C9是与N，τ无关的正常数.

其中ρ1（t）＝O（τ4＋N1－r）.

应用离散的Gronwall不等式（文献［14］中定理4），可得

当r＞11／6时，若τ充分小，且满足τ4N5／6≤ε0，可得E（t）≤ρ1（t）.因此得到下面的收敛性结果.

定理3 设u（x，t）为问题（1），（2）的解，uN（x，t）为离散格式（15）的解，且u（x，t）满足u∈C2（0，T；HA（R））∩C（0，T；HA（R））∩H4（0，T；L2（R））∩H2（0，T；H1（R））∩H1（0，T；L4（R）），则当r＞11／6时，且满足τ4N5／6≤ε0时，对于t∈（T）

其中常数C只依赖于u，f，u0，w0.

下面证明离散格式（15）的稳定性.记分别为uN，f对应的误差，则由式（15），得

取（t），代入式（27），有

对s∈Rτ（t－τ）求和，对任意的x∈R，由g（x，·）∈C2（R）及Young不等式，与收敛性的证明过程类似，可得

其中C10，C11，C12是与N，τ无关的正常数.记

由文献［15］中的引理3.7，可得格式的稳定性结论.

定理4 设u（x，t）为问题（1），（2）的解，uN（x，t）为离散格式（15）的解，则当ρ2（t）充分小时，对于t∈¯Rτ（T），有

其中常数C，C′只依赖于uN.

3 数值算例

取非线性项g（x，u）＝（u（x，t））3，考虑问题（1），（2）的解析解为：u（x，t）＝e－x2cos（xt）.首先，取时间步长τ＝10－3，图1和图2分别描述了当t＝0.1和t＝1时的误差Er与多项式项数N之间的关系，‖uN（t）－u（t）‖～e－CN.为了考察误差与时间步长τ的关系，固定N＝126，图3描述了在t＝1时刻，L2误差与时间步长的关系，从数值结果可以看出‖uN（t）－u（t）‖～τ2.

图3 N＝126，t＝1时误差与τ的关系Fig.3 Relationship between error andτat N＝126，t＝1

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