考虑非Darcy渗流和自重应力的一维固结分析

纠永志，刘忠玉，乐金朝，孙丽云

（1.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092；2.同济大学 地下建筑与工程系，上海200092；3.郑州大学 土木工程学院，河南 郑州450001；4.郑州大学 水利与环境学院，河南 郑州450001）

饱和软黏土非线性1维固结理论的研究始于上世纪60年代.Davis和 Raymond等［1－2］分别求得了特定情况下的1维非线性问题的解析解.而对于一般情况通常难以得到解析解，因此Chen和Zhou等［3－4］分别采用有限差分或有限体积法等对土体1维非线性固结理论进行了求解.不过这些理论都建立在假定地基中的初始有效应力为恒值（即初始有效应力沿土体深度是不变的）的基础上的，但是现实土体中存在的是沿深度变化的自重应力.Gibson等［5］的研究表明，当土层较厚时，固结土体的自重应力将会对其固结过程产生很大的影响，且考虑自重应力所得出的土体的固结速率快于Terzaghi理论值.在计算地基最终沉降量时，已有一些方法体现了自重应力水平的影响，比如，丁洲祥等［6］在修正割线模量法时就引入了修正系数α，并指出该系数有随埋深增加而逐渐减小的规律.所以有必要把土体自重应力沿土体深度的实际分布的因素引入到非线性固结理论的研究工作中.因此，窦宜等［7］用多种土体进行了室内离心试验，文献［8－9］用数值方法在考虑土体自重应力的基础上对特定情况进行了求解.但是上述对Terzaghi 1维固结理论的改进都是基于饱和黏土中渗流符合Darcy定律的假定之上的.

在孔隙水渗流方面，Darcy定律因其简洁而被广泛用于多种饱和土，但其对渗透性较低的致密黏土以及某些软土的有效性却一直受到质疑.Gibson等［10］指出Darcy定律是有限适用的，土体的渗透与土骨架形状的改变以及超静孔隙水压力减少的梯度有关.另外，文献［11－13］在渗透试验中都发现了相关黏土中的渗流都不同程度地存在着对Darcy定律偏离的现象，并分别提出了不同形式的非Darcy渗流数学拟合式.其中，应用较广的当属 Hansbo［14］公式

式中：q为渗透速度；m为由实验确定的常数；k，K分别为指数形式和线性关系表达式中的渗透系数；i为水力梯度；i1为直线渗流起始水力梯度；i0为直线渗流计算起始水力梯度.

曲线在i＝i1处是连续的，因此i0，k满足下式：

式（2）中，如令m＝1，则i0＝0，k＝K，式（1）可退化为Darcy定律的表达形式.如忽略式（1）中的曲线段，该式中的i0可视为渗流起始水力梯度［15］.刘忠玉等［16－17］基于忽略式（1）曲线段的直线型非Darcy渗流对Terzaghi 1维固结理论进行了修正，强调了起始水力梯度的影响.谢海澜、刘忠玉、鄂建等［18－21］采用指数－直线型非 Darcy渗流模型式（1）对Terzaghi 1维固结方程进行了修正，并分别采用了半解析法、有限体积法和有限差分法对相关固结方程进行了求解.这些研究虽然都不同程度地考虑了渗流的非Darcy特性，但没考虑固结过程中土体压缩变形的非线性和土体初始有效应力的实际分布.

本文拟把式（1）所示的 Hansbo［14］非Darcy渗流模型引入到考虑土体自重应力的1维非线性固结理论中，进一步探讨土体自重应力和土体渗流非Darcy特性对正常固结饱和软黏土非线性固结的影响.

1 问题的描述

本文的分析模型如图1所示，均质正常固结饱和黏土层的厚度为H，顶面为透水面，底面为不透水面，假定顶面瞬时加载且该土层在自重应力作用下已经完成固结.对于正常固结饱和黏土其初始有效应力可取其自重应力σ′cz.采用文献［18－20］相似的推导过程可得

图1 分析模型Fig.1 Schematic diagram of analytical model

由e—lgσ′和e—lgK的经验关系式［1－2，8－9］可得

式（3）—（5）中：u＝u（z，t）为t时刻距黏土层顶面深度z处的孔压；γw为水的重度；e0和K0分别与某一应力状态σ′0相对应的孔隙比和渗透系数；e和K分别为与某时刻土层任意深度z处的有效应力σ′（z，t）相应的孔隙比和渗透系数；cc为压缩指数；ck为渗透指数.

在瞬时均布荷载p0的作用下深度z处总应力为

式中：σ′cz0为压缩土层顶面的初始有效应力，其大小反映了土体的埋深；γ′为土的有效重度.

由式（6）可得

通过对式（7）两边关于z求偏导可得

将式（4），（5）和（8）代入式（3）可得控制方程为

其初始条件和边界条件分别为

将式（9）量纲一化可得

这里，P≠0意味着考虑土体的自重，P＝0即不考虑自重.同时，I可改写为

相应的初始条件和边界条件为

式中：d＝σ′cz0／σ′0，可反映土体的埋深；Q＝p0／σ′0为量纲一化后的土体顶面荷载.

这样，式（12），（13）—（15）构成封闭方程组，通过迭代求解便可得j＋1时刻任一深度处的有效应力.需要注意的是，由于和中含有，因此迭代格式（12）为隐式格式，可从透水边界开始逐步向不透水边界移动迭代求解.

当量纲一化后的有效应力F求出后，由式（7）可得量纲一化的超孔隙水压

2 方程的有限差分求解

令

则方程（10）变为

目前方程（11）尚无法求得其解析解，因此本文用有限差分法来对此固结方程进行求解.即以ΔZ从上到下将土层离散为n个薄层，同时以步长ΔT对时间进行离散，这样方程（11）离散为

式中：λ＝ΔT／ΔZ2；i为空间节点数，i＝1，2，…，n－1；j为空间节点数，j＝0，1，2，….当1≤i≤n－1时

相应的初始条件和顶面边界条件离散为

考虑到底面不排水，此时最底层的排水量应等于体积压缩量，经推导可得

这样可以获得如下按孔压和变形定义的两种平均固结度公式：

式中：Up，Us分别为量纲一化的孔压固结度和变形固结度；e1，ef和e分别为第i层土初始孔隙比、最终孔隙比和j时刻的孔隙比.

3 解法验证

当c＝1，土体顶面自重应力d＝1，且不考虑土体固结过程中的非Darcy渗流特性，并令土体初始有效应力沿深度不变，即P＝0时，本文模型便退化为Davis和Raymond固结方程［1］.按前述有限差分法对符合Davis和Raymond假定的特例计算了平均固结度Up（计算中，取ΔZ＝0.02，ΔT＝10－6，迭代精度为10－6），结果示于图2.为便于对比，图中也给出了Davis和Raymond解析解结果［1］.很明显，本文有限差分法计算结果曲线与解析解之间的误差极小，这证明了本文解法的有效性.

图2 平均孔压固结度Up与时间因子T关系曲线（d＝1，c＝1，m＝1，I1＝0）Fig.2 Relationship between Upand T（d＝1，c＝1，m＝1，I1＝0）

4 计算与分析

4.1 非Darcy渗流参数对土体固结的影响

首先考察在考虑自重应力情况下直线渗流起始水力梯度i1的影响.图3和4分别绘出了当c＝0.5和1.2、m＝2.0以及不同I1（即不同i1值）值时考虑土体自重时的Up和Us随时间的变化曲线.由图中可以看出，在考虑土体自重的情况下，非Darcy渗流特性和不考虑自重时［21］相似，即基于非Darcy渗流的孔压消散和地基沉降速率都明显慢于基于Darcy渗流的情形（图中I1＝0的曲线）.

图3 I1值对平均孔压固结度Up的影响Fig.3 Influence of I1on degree of consolidation Up

为了考察m值的影响，图5和图6分别绘出了当c＝0.5和c＝1.2时基于非Darcy渗流（I1＝1.0但不同m值）且考虑土体自重时的孔压消散和地基沉降随时间变化曲线.很明显，m值对孔压消散速率和地基沉降速率的影响，与I1相似.即m值越大孔压消散速率和地基沉降速率都越慢，并且随着时间的发展非Darcy渗流参数的影响越来越显著.

4.2 考虑非Darcy渗流时埋深对固结度的影响

基于Darcy渗流时埋深对固结度的影响，马崇武［9］已做过探讨，本文只讨论非Darcy渗流情况下埋深对固结度的影响.

为了分析在非Darcy渗流条件下并考虑土体自重时土层埋深对土体的孔压消散和地基沉降速率的影响，本文分别取c＝0.8和c＝1.5时计算了不同埋深时Up和Us随时间的变化曲线，如图7和图8所示.这里的结论与文献［9］相似，即埋深越大，地基沉降速度就越慢，并且c值越大，土体埋深对地基沉降速度影响就越大；但土体埋深对孔压消散速率的影响规律与其对地基沉降的影响不同：当c值较小时（例如c＝0.8）土体的埋深越大，孔压消散速度越快；当c值较大时（例如c＝1.5），c值对孔压消散速度的影响体现出和孔压较小时不同的规律：即在固结的前期，埋深越大，孔压消散速度越快，而在固结的后期，情况正好相反.但和文献［9］不同的是，由于渗流非Darcy特性的影响，孔压消散和地基沉降速度都明显慢于符合Darcy渗流时的孔压消散和地基沉降速率.

图6 m值对平均变形固结度Us的影响Fig.6 Influence of mon degree of consolidation Us

4.3 土体自重及非Darcy渗流特性对土体固结的影响

为了系统探讨土体变形的非线性、土体自重应力、土体渗流的非Darcy特性等对孔压消散和地基沉降的影响，图9和图10分别给出了c＝0.5和c＝1.2时基于Darcy渗流或非Darcy渗流、考虑土体自重应力与不考虑土体自重应力时的孔压消散曲线和地基沉降曲线.

从图中可以看出，不论是否考虑非Darcy渗流，考虑土体自重应力时的孔压消散速率和地基沉降速率都要大于不考虑土体自重时的情况，这与文献［7］的结论相似.另外，不论是否考虑土体自重应力，土体渗流的非Darcy特性都延缓了孔压消散速率和地基沉降速率，这与文献［18－21］相似.但综合考虑土体自重应力和非Darcy渗流特性的影响时，这里得出了与上述结论都有所不同的结果.由图10可以看出，在固结的前期，考虑非Darcy渗流且考虑土体自重（图中P＝1.0，m＝2.0，I1＝1.0的曲线）的地基沉降速率要快于考虑Darcy渗流且不考虑土体自重（图中P＝0，Darcy的曲线）的地基沉降速率，但在固结后期则出现相反的情况，即考虑非Darcy渗流且考虑土体自重的孔压消散速率逐渐开始慢于考虑Darcy渗流但不考虑土体自重的地基沉降速率.同时，图9所示的孔压消散速率的规律与之相似.因此不考虑渗流非Darcy特性和土体自重的固结分析在土体固结的前期低估了孔压消散速率和地基沉降速率，而在固结后期则正好相反.

由图9可以看出，土体自重对固结前期的孔压消散无明显的影响，但随着时间的发展考虑土体自重的孔压消散逐渐快于不考虑土体自重的情形，但到固结的后期，基于Darcy渗流考虑或不考虑土体自重的孔压消散曲线逐渐趋于一致，基于非Darcy渗流时也是如此，因此可以认为，土体自重对孔压消散的影响主要表现在固结的中期，而对前期和后期无明显影响，而土体渗流的非Darcy特性对孔压消散的影响主要表现在中后期，对前期无明显影响.

由图10可以看出，考虑土体自重时的地基沉降速率一开始就明显快于不考虑土体自重时的地基沉降速率，但到固结的后期二者逐渐趋于一致.因此可以认为，土体自重对地基沉降的影响主要表现在前期和中期，而对后期的影响较小；土体渗流的非Darcy特性对地基沉降的影响主要表现在中后期，而对前期的影响较小.

4.4 和Terzaghi解的对比

为了和Terzaghi解进行对比，图9和图10中以实线标出了Terzaghi解的固结曲线.Gibson等［5］认为考虑自重应力所得出的土体的固结速率快于Terzaghi理论值，但这里通过综合考虑非达西渗流、土体自重应力和土体非线性变形时得出了与此不同的结论.由图9可以看出，当c值较小时（例如c＝0.5），在考虑土体自重的情况下，基于Darcy渗流（图中P＝1.0，Darcy的曲线）的孔压消散速率快于Terzaghi解，这点与文献［5］相同；但基于非Darcy渗流（图中P＝1.0，m＝2.0，I1＝1.0的曲线）的解答，则可能出现在固结的中期孔压消散速率快于Terzaghi解，而在固结后期，由于非Darcy特性的影响其孔压消散速率慢于Terzaghi解的情况.当c值较大时（例如c＝1.2），在考虑土体自重的情况下基于Darcy或非Darcy渗流的孔压消散速率都要慢于Terzaghi解.

对比图9和10可以看出地基沉降速率和孔压消散速率有着不同的情况.当c值较小时（例如c＝0.5），基于Darcy渗流考虑土体自重和不考虑土体自重时的地基沉降速率要明显快于Terzaghi解，基于非Darcy渗流时由于非Darcy特性的影响只在固结快要完成的时候出现了固结沉降速率慢于Terzaghi解的情况.当c值较大时（例如c＝1.2），考虑土体自重应力时的地基沉降速率和Terzaghi解相对比则可能出现前期快而后期慢的相反情况.

5 结论

本文在考虑土体变形非线性的基础上引入Hansbo渗流模型，并同时考虑土体自重和埋深的影响，以有效应力为求解对象，推导了饱和黏土的1维固结方程，并给出了隐式有限差分格式.数值分析结果表明了分析饱和黏土非线性固结时，考虑渗流非Darcy特性且同时考虑土体自重和埋深影响的必要性，并得出下列结论：

（1）无论是基于Darcy还是基于非Darcy渗流，考虑土体自重应力时的孔压消散速率和地基沉降速率都要大于不考虑土体自重时的情况.无论是考虑或不考虑土体自重应力，土体渗流的非Darcy特性都延缓了孔压消散速率和地基沉降速率.

（2）土体自重对孔压消散的影响主要表现在固结的中期，而对前期和后期无明显影响；对地基沉降的影响主要表现在前期和中期，而对后期的影响较小.土体渗流的非Darcy特性对地基沉降和孔压消散的影响相似，主要表现为在中后期影响较大而对前期的影响较小.

（3）当c值较小时（例如c＝0.5），在考虑土体自重的情况下，基于Darcy渗流的孔压消散速率快于Terzaghi解；但基于非Darcy渗流的解答，则可能出现在固结的中期孔压消散速率快于Terzaghi解，而在固结后期，由于非Darcy特性的影响其孔压消散速率慢于Terzaghi解的情况.

（4）当c值较大时（例如c＝1.2），在考虑土体自重的情况下，基于Darcy或非Darcy渗流孔压消散速率都要慢于Terzaghi解.但考虑土体自重应力时的地基沉降速率和Terzaghi解相对比则可能出现前期快而后期慢的相反情况.

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