基于小轮磨齿修形的面齿轮接触性能分析

李大庆 邓效忠 魏冰阳 李聚波

1.江苏大学，镇江，212013 2.河南科技大学，洛阳，471003

0 引言

面齿轮是一种圆柱齿轮和圆锥齿轮啮合的传动形式，在国外已经应用于直升机的主传动系统，与弧齿锥齿轮相比，它显著减小了齿轮箱重量并提高了承载能力［1］。

在面齿轮的加工方面，插齿是最基本的加工方式。Litvin等［2－3］对面齿轮几何学进行了基本设计，并在此基础上提出了对面齿轮副的双向（齿廓和齿向）修形。文献［4－7］对插齿加工及修形做了进一步探讨。为提高加工精度，Cuypers等［8］研究了面齿轮滚切加工。郭辉［9］探索了滚齿加工方法及设备。在磨齿加工方面，Litvin等［3，10］提出了利用蜗杆砂轮磨削面齿轮的方法，该方法虽然加工效率高，但齿面受奇异性影响，会导致某些参数的插刀不存在对应蜗杆，且砂轮产形技术难度大，不易实现，而利用碟形砂轮磨齿则不会出现上述问题。

目前，国内对面齿轮的碟形砂轮磨齿的研究还尚未展开。另外，面齿轮副的啮合性能可通过对其大小轮的齿廓抛物线修形来进行优化，但修形因数的增大会使大轮的齿宽系数减小［3］，且使修形相对复杂，因此，为了能够提高磨削后齿轮副的啮合性能，笔者提出了基于小轮修形的碟形砂轮磨齿方法，以提高面齿轮副的接触性能。在磨削加工小轮时，利用文献［11－12］提出的双向修形原理，用碟形砂轮对小轮做修形磨齿，即在磨齿加工过程中，通过控制修形因数和磨齿加工运动参数来改变面齿轮接触印痕的位置和方向，获得抛物线传动误差，从而降低其对安装误差的敏感性，减小振动和噪声，达到提高面齿轮啮合性能的目的。

1 小轮的加工

1.1 小轮加工齿条

构成面齿轮副的小轮和面齿轮分别由齿条和插刀范成加工而成，用于加工小轮和插刀的齿条端面齿廓如图1所示，下标ti表示齿条的齿廓坐标系，ri表示齿条坐标系，其中i＝1，s，分别代表小轮和插刀，α为齿廓压力角。齿条齿面点m在坐标系Sti（OtiXtiYti）的矢量表达式为

式中，θdi、udi分别为齿条坐标Y、Z方向的齿面参数；adi为抛物线系数；ud0为抛物线上偏离基廓节点的距离，简称偏移距。

式（1）转换到齿条坐标系Sri（OriXriYri）中的表达式为

式中，Mrt为坐标系Sti到Sri的坐标转换矩阵。

图1 抛物线齿条形状

1.2 小齿轮和插刀的加工及齿面方程

图2 小轮的齿条加工

根据齿轮啮合原理，小轮（插刀）齿面为齿条齿面的包络，图2表示了小轮（插刀）的展成过程，rpi为节圆半径；φi为小轮（插刀）转角；Sri和Si（OiXiYi）分别表示和齿条及小轮（插刀）相固连的坐标系，Sn（OnXnYn）为辅助坐标系。小轮和插刀的齿面方程分别为

式中，Mnri、Min分别为坐标系Sri到Si的坐标转换矩阵；fi（udi，φi）为啮合方程；nri为齿条齿面的法向矢量；vri为坐标系Sri中齿条与齿轮的相对速度。

1.3 砂轮齿面方程

用于小轮的磨齿修形砂轮如图3所示，坐标系Sw（OwYwZw）固连于砂轮，Sk（OkYkZk）为辅助坐标系。砂轮齿面Σw为一回转面，砂轮横截面内的母线可以用小轮的平面廓线表示，当z1＝0时，砂轮横截面内的母线lw表示为

其中，r1x、r1y为向量r1的分量，将式（5）转换到坐标系Sw，即得到砂轮齿面方程：

式中，θw为砂轮绕自身轴线旋转的转角；Mk1、Mwk（θw）为从坐标系S1到Sw的转换矩阵。

图3 砂轮齿面生成

1.4 小轮的齿向修形及齿面方程

磨齿时，小轮的齿向修形由砂轮中心在O1Y1Z1平面内做一平面曲线轨迹来完成，如图4所示，坐标系Sg（OgYgZg）、S1分别固连于加工砂轮和小轮，Rg1为平面运动轨迹的半径，φg为砂轮中心转过的角度，双向修形的小齿轮齿面由砂轮齿面包络而成，齿面方程为

式中，r′1为小轮双向修形后的齿面位置向量；M1k、Mkg为坐标系Sg到S1的转换矩阵；nw为砂轮齿面的法矢；fw（ud1，θw，φg）为啮合方程；vw为砂轮和小轮齿面之间的相对速度。

图4 砂轮的双鼓修形运动

2 大轮的加工

面齿轮的磨齿加工过程利用了插齿加工面齿轮原理。如图5所示，用砂轮模拟插齿刀的一个齿，即将碟形砂轮的轴向截面修成插齿刀的齿廓形状。加工时，砂轮高速旋转完成切削运动，同时，面齿轮绕自身轴线旋转，砂轮绕虚拟插刀的轴线（Z轴）做旋摆运动，当二者按一定滚比转动时，即展成面齿轮齿廓。

图5 面齿轮的磨削加工

图6表示了面齿轮磨齿加工的坐标系，坐标系S2（O2X2Y2）和Ss（OsYsZs）分别固连于面齿轮和虚拟的插刀（由砂轮模拟），Sa（OaXaYaZa）、Sm（OmXmYmZm）为辅助坐标系，Es为砂轮中心和虚拟插刀中心的距离，Rs为坐标原点O2与Os之间的距离，γm为虚拟插刀和面齿轮旋转轴线的夹角。前面推导的插刀齿面方程，经过坐标转换，即可得到面齿轮的齿面方程：

图6 面齿轮加工坐标系

3 修形面齿轮副啮合性能分析

根据磨齿加工过程，以及对修形齿面方程的推导可知，小轮齿面几何形状是由齿条抛物线形状参数ad1、ud0、α和磨床加工运动参数Rp1决定的，因此改变这4个参数会影响面齿轮副的啮合性能。本文研究了通过调整以上参数来实现面齿轮副啮合性能的改善。

3.1 齿面啮合性能分析

面齿轮副的齿面啮合性能分析主要由齿面接触分析（TCA）程序完成［1］，即通过齿面接触分析得到修形控制参数对传动误差和接触迹线的影响，找出二者之间的关系，进而反馈修正加工运动参数来提高啮合性能。图7所示为齿面啮合性能分析坐标系，Sh（OhXhYhZh）为固定坐标系，小轮和面齿 轮 分 别 绕Z1轴、Z2轴 旋 转；Sf（OfXfYfZf）、Sq（OqXqYqZq）、Se（OeXeYeZe）、Sd（OdXdYdZd）

为辅助坐标系，用于模拟面齿轮副的安装关系。

图7 面齿轮TCA分析坐标系

图7中，Rf＝Rs＋Bcotγ，ΔE为轴交错位移误差，Δq为面齿轮的轴向偏移误差，γf＝γm＋Δγ，其中，Δγ为轴交角误差。

3.2 实例与分析

本文设计了一对面齿轮，齿轮的齿数、模数、压力角及内外半径等几何参数见表1，表2列出了磨齿修形砂轮的运动半径，表3所示为小轮修形控制参数。算例中所设置的各项安装误差分别如下：Δγ＝0.03°，Δq＝－0.2mm，ΔE＝0.2mm。通过编程运算，输出不同加工参数对啮合性能的影响规律。

表1 齿轮参数

表2 修形砂轮运动半径

表3 小轮修形控制参数

通过输出的影响规律曲线（图8）可知，在有安装误差情况下，随砂轮运动半径的增大（表2），接触路径向大端偏移。图8表明，可通过调整砂轮运动半径的大小来改变齿面接触印痕的位置，但值得注意的是，增大砂轮运动半径的值会增大对安装误差的敏感性。

图8 Rp1对接触路径的影响

图9显示了偏移距参数ud0对齿面接触路径的影响，当偏移距分别取正负值时，接触痕迹分别向上下偏移。为得到较理想的接触迹线的位置，后面算例中ud0＝0。

图9 ud0对接触路径的影响

图10显示了不同的小轮修形控制参数（表3）对齿面接触印痕的影响，左右两列图分别为无安装误差和有安装误差的情况。在图10a中，齿数差Ns－N1＝3，通过这种方法实现了齿轮副的齿面接触局部化［1］，但齿面接触痕迹对安装误差比较敏感。在图10b中，对小轮齿面的齿长方向做了修形，和图10a相比，接触痕迹向中间偏移，说明接触痕迹对安装误差的敏感性有了明显的降低。情况3中则对小轮齿面做双向修形，图10c显示，和情况2相比，接触路径明显发生了偏斜，说明增大参数ad1的值会加大接触痕迹的倾斜程度，同时从图10c中可以看出，参数ad1的变化还会使接触椭圆的尺寸发生改变。情况4中则选用了较大的基廓压力角α，图10d显示，和情况3相比，增大压力角能减小接触痕迹对安装误差的敏感性。

图10 四种情况下的TCA分析

由以上算例可知，通过调整控制参数ad1、ud0、α和Rp1的值，可以改善接触迹线的方向和位置，并可减小面齿轮副对安装误差的敏感性。

另外，传统的渐开线齿形在理论上不存在传动误差［1］，但制造和安装误差会引起不连续的线性传动误差，这种误差是振动和噪声的主要来源。图11显示了表3中情况3下有安装误差的传动误差曲线，该传动误差曲线为上凸的抛物线函数曲线，这种抛物线线函数能够吸收由安装误差引起的线性传动误差函数［1］，从而可以有效减小由安装误差引起的振动与噪声。

图11 传动误差曲线

4 结语

本文对直齿面齿轮的碟形砂轮修形磨齿加工方法做了探讨，并对磨齿修形面齿轮副的啮合性能进行了TCA分析。基于碟形砂轮磨齿加工过程，分别推导并得到了直齿面齿轮副及砂轮的修形齿面方程。在利用碟形砂轮磨齿过程中，通过对小轮磨齿加工运动参数及抛物线修形参数的调整，使面齿轮副齿面接触迹线的位置和方向得到改善，减小了面齿轮对安装误差的敏感性，并可得到传动误差的抛物线函数，有效减小由安装误差引起的振动和噪声，从而实现了面齿轮副啮合性能的提高。

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