含驱动摩擦的四自由度并联机构动力学分析

季 晔 刘宏昭 原大宁

西安理工大学，西安，710048

0 引言

由于并联机构具有串联机构所不具备的优点，因此受到了学术界的广泛关注。在许多场合应用的并联机构往往只需要部分自由度即可，故少自由度并联机构已成为近年来研究的热点。空间四自由度并联机构是少自由度并联机构中的一个重要分支，其中，具有2个移动自由度和2个转动自由度的并联机构有着广阔的应用前景。

文献［1－3］分别利用拉格朗日方程、凯恩方程和牛顿－欧拉法（N－E法）建立了六自由度并联机构动力学方程；文献［4］建立了考虑摩擦的两自由度平面五杆机构的动力学方程。摩擦的存在会影响机械系统的效率，滑动摩擦的影响更为显著。含摩擦的并联机构动力学研究相对较少，本文以一种新型4－UPS/PPU并联机构为研究对象，其中，UPS支链为驱动支链，PPU支链为从动支链。P副控制支链长度，其原型为活塞杆和液压缸之间的滑动。低速运动时，P副之间的滑动摩擦力对系统的影响显著；S副和U副以转动为主，如果润滑良好，摩擦对系统的影响较小。综上所述，根据机构动平台实际位姿变量，建立了机构动平台和各支链的运动学方程；运用N－E法建立了含摩擦的机构动力学方程，得到了摩擦对输入的影响程度和各运动副的约束反力/力偶。

1 机构模型描述

该机构具有4条驱动支链（UPS支链）和1条约束从动支链（PPU支链）。在驱动支链上，与运动平台相连的S副用Ai（i＝1，2，3，4）表示，与固定平台相连的U副用Bi表示。从动支链的U副与运动平台中心（A5）相连，在固定平台上有一位于x轴上能自由移动的P副，无论动平台处于何种位姿，该支链都与z轴平行。各支链均由副Pj（j＝1，2，…，5）控制伸缩。

2 运动分析

2.1 机构位置分析

在机构的固定平台上建立惯性坐标系Oxyz，坐标原点位于B1B2B3B4组成矩形的中心，x轴平行于B1B2，y轴平行于B2B3，z轴可由右手法则确定方向，如图1所示。

图1 4－UPS/PPU并联机构结构简图

固定于运动平台的动坐标系O′x′y′z′的坐标原点位于A1A2A3A4组成矩形的中心，x′轴平行于A1A2，y′轴平行于A2A3，z′轴可由右手法则确定方向，如图1所示。

运动平台位姿X由动坐标系相对于惯性坐标系的广义坐标表示：

式中，xp、zp分别为P点在惯性坐标系Oxyz下的绝对坐标；β、γ分别为Y－X型Euler角。

动坐标系O′x′y′z′到惯性坐标系Oxyz的旋转变换矩阵为

设运动平台各顶点在动坐标系O′x′y′z′下的坐标为（A′ix，A′iy，A′iz），在惯性坐标系Oxyz中的坐标为（Aix，Aiy，Aiz）。 在惯性坐标系Oxyz下，固定平台各顶点坐标为（Bix，Biy，Biz），则有

支链i的向量表示为

长度为

2.2 速度分析

运动平台的广义位姿速度可表示为

动平台角速度为

上平台各铰点在Oxyz坐标系下的速度为

由式（3）可得输入速度：

式中，eni为第i条驱动杆伸缩的单位方向向量。

驱动杆伸缩速率为

支链由缸筒和活塞杆组成，各构件运动包括空间转动和移动，活塞杆质心速度为

式中，rg为活塞杆质心与上铰点之间的距离；ωli为驱动支链角速度。

缸筒的质心速度为

式中，rt为缸筒质心与下铰点之间的距离。

假设缸筒和活塞杆质量分布均匀，质心位于其几何中心。

2.3 加速度分析

运动平台的广义位姿加速度为

支链的角加速度

活塞杆质心的加速度

缸筒质心的加速度

3 动力学分析

3.1 支链受力分析

机构的驱动支链由1个S副、1个U副和1个P副组成，以铰点Bi建立支链坐标系Bixiyizi，各坐标轴平行于惯性坐标系且方向相同。将支链的活塞杆与缸筒分解，进行受力分析。以缸筒为研究对象，固定平台与缸筒之间为U副连接，固定平台对缸筒的约束力、约束力偶分别为BFBi和BMBi，BFBi、BMBi在坐标系Bixiyizi下的表示为（FBix，FBiy，FBiz）T和（0，0，MBiz）T；缸筒与活塞杆之间通过P副连接，在P副处，活塞杆对缸筒的约束力和约束力偶分别为BFPi、BMPi，BFPi、BMPi在坐标系Bixiyizi下的表示为（FPix，FPiy，FPiz）T和（MPix，MPiy，MPiz）T；同时，缸筒还受到驱动力Fi、活塞杆对缸筒的摩擦力fi和重力Gt的作用。取活塞杆为研究对象，由于运动平台与活塞杆之间采用S副连接，因此运动平台对活塞杆的作用力为BFAi，BFAi在坐标系Bixiyizi下的表示为（FAix，FAiy，FAiz）T；缸筒对活塞杆亦存在约束力（力偶），与活塞杆对缸筒的约束力（力偶）是作用力与反作用力关系。另外，活塞杆受驱动力Fi、摩擦力fi和重力Gg的作用，活塞杆上的驱动力和摩擦力与缸筒上的驱动力和摩擦力亦为作用力与反作用力关系，缸筒和活塞杆受力如图2所示。

图2 驱动支链缸筒和活塞杆受力图

约束从动支链的缸筒和活塞杆受力如图3所示。以惯性坐标系为支链坐标系，将支链的活塞杆与缸筒分解，进行受力分析。以缸筒为研究对象，固定平台与缸筒之间是P副连接，固定平台对缸筒的 约 束 力、 约 束 力 偶 可 表 示 为OFP′5和OMP′5，OFP′5、OMP′5在 惯 性 坐 标 系 下 的 表 示 为（0，FP′5y，FP′5z）T和（MP′5x，MP′5y，MP′5z）T；活塞杆和缸筒之间为P副连接，在P副处活塞杆对缸筒的约束力、约束力偶分别为OFP5和OMP5，OFP5＝（FP5x，FP5y，0）T，OMP5＝ （MP5x，MP5y，MP5z）T；支链为从动支链，同时不考虑摩擦，缸筒还存在重力Gt的作用。以活塞杆为研究对象，运动平台与该支链活塞杆采用U副连接，运动平台对活塞杆的约束力、约束力偶分别为OFU5和OMU5，OFU5＝ （FUx，FUy，FUz）T，OMU5＝ （0，0，MUz）T；缸筒对活塞杆亦存在约束力（力偶），其与活塞杆对缸筒的约束力（力偶）是作用力与反作用力关系；活塞杆还受重力Gg的作用。

动平台受力如图4所示，约束力均来源于驱动支链和从动支链活塞杆，彼此之间是作用力与反作用力（力偶）关系，Gd为动平台自身的重力。

图3 从动支链缸筒和活塞杆受力图

图4 动平台受力图

根据上述分析可知，机构存在4个驱动力和66（13×4＋14）个未知力（力偶），共70个未知量。每个构件有6个平衡方程，方程数为66（构件数11×平衡方程数目6），而BFPi垂直于支链，可建立补充方程（共4个方程），因此机构线性无关的平衡方程数为70。缸筒与活塞杆之间的摩擦力与FPi有关，不是独立变量。综上所述，机构动力学方程为静定方程。

3.2 建立系统动力学方程

机构的动力学建模方法主要有Lagrange法、Kane方法、虚功原理、旋量法和N－E法等。这些建模方法中，一类不含运动副约束反力，其维数等于机构广义坐标数；另一类含运动副约束反力，维数远大于机构的广义坐标数。Lagrange法建立的方程具有系统性强、表达紧凑、物理意义明确等优点，是目前使用较多的方法之一，但单纯使用该方法无法获得各运动副的约束反力。N－E法是将各构件分离，其动力学方程基于达朗贝尔原理，是力和力矩平衡方程的组合，模型包含构件的约束反力，尽管方程维数较大，但可以得到机构的全部受力信息。由于摩擦力与正压力有关，即与P副约束反力有关，因此采用N－E法建立含摩擦的机构动力学方程。在图2的坐标系Bixiyizi下，建立驱动支链缸筒的平衡方程

式中，BFi为支链的驱动力，即图2中的Fi；Bfi为摩擦力，即图2中的fi，由BFPi决定；BFti为缸筒的惯性力，BFti＝－mtati；mt为缸筒质量；BGt为缸筒的重力，即图2中的Gt，Gt＝ （0，0，mtg）T；g为重力加速度，取9.8m/s2；BMti

坐标系Bixiyizi相对于支链坐标系变换过程为坐标系Bixiyizi先绕zi轴旋转φi角，然后再绕新的yi轴即yli旋转θi角，如图5所示。故

图5 支链的欧拉角

驱动支链活塞杆在坐标系Bixiyizi下的平衡方程为

每条驱动支链还存在补充方程（共4个方程），即

从动支链缸筒在坐标系Oxyz下的平衡方程为

从动支链活塞杆在坐标系Oxyz下的平衡方程为

动平台在坐标系Oxyz下的平衡方程为

4 摩擦模型选取

文献［5］对目前已有的十几种摩擦模型进行了介绍。库仑摩擦模型和指数摩擦模型［6］等属于静态摩擦模型；Dahl［7－8］和 LuGre［9］摩擦模型等属于动态摩擦模型。前者包含的参数相对较少，后者包含的参数相对较多且参数难以辨识。虽然后者可以更好地描述摩擦的动态非线性特性，前者则略显不足，但前者在一定程度上仍满足实际使用要求，依然有很多学者使用。本文选取库仑摩擦模型和指数摩擦模型进行计算。

库仑摩擦模型为

式中，μc为动摩擦因数；Ni为正压力，Ni＝｜FPi｜。

指数摩擦模型为

式中，μs为静摩擦因数；v为运动速度；vs为Stribeck速度；δ为经验常数。

5 数值计算与结果分析

5.1 计算参数选取

机构结构参数为：运动平台边长a＝0.4m；固定平台长边长b＝1m，短边长c＝0.6m；动平台、缸筒、活塞杆质量分别为24.96kg、4.008kg和18.526kg；支链伸缩范围为1～1.5m；rg和rt均为0.375m。缸筒的惯性张量（单位kg·m2）为

活塞杆的惯性张量（单位kg·m2）为

动平台的惯性张量（单位kg·m2）为

动平台几何中心的轨迹采用3次多项式规划。考虑动平台在初始时刻t0＝0和终点时刻tf＝10s时，平台运动速度均为0。运动方程可记为

动平台初始位置为：xp＝－0.005m，zp＝1.3m，β＝γ＝ （π/18）rad；终 止 位 置 为xp＝0.005m，zp＝1.25m，β＝γ＝（π/6）rad。根据上述边界条件，方程满足

由已知条件可得动平台运动轨迹：

根据动平台的位置参数，机构各构件的运动学参数（位置、速度和加速度）即可确定。根据文献 ［10］可 确 定μc＝ 0.05，μs＝0.1；vs＝0.2mm/s［11］。当δ＝1时，模型为 Tustin模型；当δ＝2时，模型为Gauss模型。本文分别选取库仑模型、Tustin和Gauss模型进行计算。

5.2 计算方法描述

联立式（19）～ 式（24），可得

式中，x为约束反力/力偶和驱动力矩阵；A为系数矩阵；BI为惯性矩阵；BG为重力矩阵；Bf为摩擦力矩阵。

A、BI和BG为已知矩阵，Bf与x有关。不含摩擦时，Bf等于0，则x＝－A－1（BI＋BG）。

考虑摩擦时，求解过程如下：

（1）将不含摩擦时求得的x记为x0，把x0代入摩擦模型计算Bf，得到的Bf记为Bf0。

（2）将Bf0代入式（28），求解x，记为x1，并再次按步骤1求解Bf，记为Bf1，以此类推，可求得xi和Bfi。

（3）向量范数norm（xi－xi－1，2）＜ζ时，计算结束，xi即为全部未知量的解。此次计算ζ取0.1。

5.3 计算结果及分析

经计算得到各驱动支链的驱动力（不含摩擦、含库仑摩擦和含Gauss摩擦时驱动力计算结果），如图6所示。Tustin摩擦模型和Gauss摩擦模型计算结果相差很小，曲线几乎重合，图6中未描述。支链A1B1和A3B3需要的驱动力较大，支链A2B2和A4B4需要的驱动力较小。含库仑摩擦与含Gauss摩擦的计算结果相比，在起始阶段和运动终止阶段驱动力存在差异，平稳运动时驱动力几乎无差异。同时，在起始和终止阶段，摩擦对驱动力的影响明显。根据计算结果还发现，支链A1B1和A3B3的U副和S副的约束反力较大，而约束力偶较小。

图6 支链驱动力计算结果

6 结语

建立了一种四自由度并联机构的运动学方程；根据N－E法建立了含摩擦的机构动力学方程，在给定运动规律的条件下，得到了考虑摩擦的机构各支链驱动力和各运动副的约束反力和约束力偶。

计算结果表明，驱动支链的U副和S副在机构运动过程中存在较大的载荷。在起始和终止两个阶段，摩擦对驱动力的影响显著，需充分考虑驱动力的补偿。

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