连续自然数幂的二项分解

符云锦

（凤凰县两林学区，湖南凤凰 416211）

众多数学家对n个连续自然数的m次幂之和的计算问题，进行了大量的探究〔1-13〕，取得了许多成果，在此，出现了多种方法。本文相应地提出了一种新的方法，即利用二元方数及组合数可以直接分解其幂和。同时，也得出连续自然数幂和的计算式，这对培养学生发现问题和抽象概括的能力，以及提高学生的数学素养具有很大的改善作用。

1 几个定义和性质

定义1 对任意两自然数i，j，定义如下运算：

（Ⅰ）若 i·j＝0 且 i＋j≠0，则 Ai，j＝0；

（Ⅱ）若 i＜j，则 Ai，j＝0；

（Ⅲ）若 j＝1，则 Ai，j＝i！；

（Ⅳ）若i≥j，则Ai，j＝（Ai－1，j－i＋Ai－1，j）（i－j＋1）。

则称 Ai，j为二元方数，记 A＝｛Ai,j｜Ai,j满足定义 1 的四个条件｝，并且规定 A0，0＝1。

定理 1 ∀Ai，j∈A，则

1）A1，1＝1；

2）Ai，0=0，A0，j=0；

3）Ai，i+n=0，其中 n∈N+；

4）Ai，i＝Ai－1，i－1＝…＝A0，0＝1；

5）∀i,j∈N，有 Ai，j≥0。

证明：1）由（Ⅲ）知 Ai，1＝i！，令 i＝1，则 A1，1＝1。

2）由（Ⅰ）知 i·j＝0 且 i＋j≠0，则 Ai，0=0，A0，j=0。

3）因为 i+n＞i，由（Ⅱ）知 Ai，i+n=0。

4）由（Ⅳ）知Ai，j＝（Ai－1，i－1＋Ai－1，i）（i－i＋1）＝A－1i，i－1。故有 Ai，i＝Ai－1，i－1＝…＝A1，1＝A0，0＝1。

5）当 i＜j时，Ai，j＝0；当 i＝j时，Ai，j＝1；当 i＞j时，由（Ⅳ）可知 Ai，j≥0。

定义2 对任意两自然数n，r，定义：

为组合数〔14〕。我们规定：C0r＝1，Cn0＝1。

显然，定义2所定义的组合数同样满足文献［14］中所有的性质。此外，本文还得出如下性质。

定理 2 C1r＋C2r＋…＋Cnr＝Cn＋1r＋1。

证明：∵r＋1＞1，∴C1r＋1＝0，有

2 新三角

对部分数Ai，j进行如下排列：

表1

我们发现，成倒立三角形的上两顶角数之和，乘以空位行数，通过计算就可以得到一种新的三角数：

表2

3 主要结论

定理3 对任意两自然数n，r，则

证明：用数学归纳法。

(3)原有的知识基础。即在学习过程中所积累知识经验。当学习者具备一定上网技能和原有知识基础时，能更好参与信息浏览和控制信息检索，减少无关信息的干扰，提高检索和学习效率。

第一步，当 r＝1 时，右边＝A1，1Cn1＝1·n＝n1＝左边；

第二步，假设当 r＝k 时，（1）式成立，即：

当 r＝k＋1 时，

注意到：

把上各式等号两边相加，可得：

综上所述，（1）式成立。

从定理3可知，把任意自然数n的r次幂可以展开成二元方数与组合数积的和，而在nr展开式中，每个组合数前的系数就是在新三角中的第r行的二元方数。

定理证毕。

根据定理2得：

定理证毕。

4 一个猜想的简单解决

著名的波文（Rufus Bowen）猜想〔15-16〕为：方程

只有唯一（n＝1，m＝2）的正整数解。

下面给出最简单的证明。

成立。

只需解组合数方程Cm＋1n-i＋2＝Cm＋1n-i＋1（i＝1，2，…，n）对所有的i都成立。解得n＝1，m＝2。

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