小波检测并估计非参函数变点

赵文芝,夏志明

(1.西安工程大学理学院,陕西 西安 710048;2.西北大学数学系,陕西 西安 710127)

小波检测并估计非参函数变点

赵文芝1,夏志明2

(1.西安工程大学理学院,陕西 西安 710048;2.西北大学数学系,陕西 西安 710127)

研究随机设计下非参函数变点的小波检测与估计问题.将小波方法与设计点转化方法相结合给出变点的检测统计量并研究检测的一致性.给出了变点个数和变点位置的估计量,证明了变点个数估计量的相合性并得到变点位置估计量的收敛速度.

变点;非参数回归模型;小波变换;收敛速度

1 引言

本文考虑非参数回归模型

其中εi是均值为0方差为1的i.i.d.序列,Xi是与εi相互独立,支撑区间为[0,1]的设计点.

考虑如下假设检验问题:

H0: f在[0,1]上连续可微;

H1(m):f存在至少1个至多m个不连续点,在其余点是光滑函数.

本文假定回归函数f中不连续点的个数和不连续点的位置都是未知的,但是不连续点个数的上界是已知的.在备择假设H1(m)中,m就表示的是这样的上界.

小波系数能够反应原函数的局部特性:在光滑点的小波系数绝对值较小而在不连续点的小波系数绝对值较大[1].小波系数的这种性质使之成为处理非参数回归模型变点问题的一个有力工具.选取适当的临界值,考察小波系数的绝对值是否超过给定的临界值.若小波系数的绝对值超过给定的临界值则认为该函数存在变点,否则认为该函数是光滑的.文献[2]率先用小波方法检测并估计非参数回归模型变点.文献[3]用小波系数的累积和对变点进行检验.文献[4]给出了非参数回归模型变点的Minimax估计.上述文献解决的都是固定等距设计且误差为Gauss过程时的变点检测问题.文献[1]用广义Pareto分布对小波系数进行建模,解决了方差有穷的厚尾信号的变点检测问题.文献[5-6]用有界小波分别估计固定设计下以及随机设计下含有变点的非参函数.文献[7]用小波方法来检测异方差自回归模型的变点.文献[8]用小波方法检测误差为 Gauss过程时分段光滑函数的变点.文献[9-10]用小波方法检测非参数(自)回归模型的变点,文献[11]用小波方法检测异方差回归模型的变点,文献[12]用小波方法检测回归函数导函数的变点.文献[13]用小波方法检测并估计均匀随机设计下,即模型(1.1)中Xi～U[0,1]时非参函数变点的检测与估计.文献[14]研究半参数回归模型估计的收敛速度.本文研究Xi是一般随机设计时非参函数变点的检测与估计问题.

本文需要如下假设条件:

2 变点的检测

3 变点的估计

该收敛速度与文献[2]的收敛速度一致.文献[2]的结论是在i.i.d.正态随机误差下得到的,且数据是在固定设计下得到的,而本文结论是在一般的i.i.d.误差下得到,且数据是在随机设计下获得的.

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Wavelet detection and estimation change point in nonparametric regression model

Zhao Wenzhi1,Xia Zhiming2
(1.School of Science,Xi′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

This paper considers the detection and estimation problem of change point in nonparametric regression model in a random design.The test statistics is proposed by method of wavelet and design point transformation.The consistence of the test is proved.The consistence of estimator for numbers of change point while the convergence rate for location of change points are given.

change point,nonparametric regression model,wavelet transformation,convergence rate

O212.1

A

1008-5513(2012)01-0041-06

2011-10-01.

陕西省教育厅基金(2010JK561);西安工程大学基础研究基金(2010JC07);

国家自然科学专项基金(数学天元)(11026135,11126312);教育部人文社科基金(10YJC910007).

赵文芝(1979-),博士,讲师,研究方向：非线性时间序列分析及应用.

2010 MSC:62G08