统一混沌系统的全局指数吸引集的新结果

鞠培军,田力,孔宪明,张卫,刘国彩

(泰山学院数学与系统科学学院,山东 泰安 271021)

统一混沌系统的全局指数吸引集的新结果

鞠培军,田力,孔宪明,张卫,刘国彩

(泰山学院数学与系统科学学院,山东 泰安 271021)

研究了参数α∈[1/29,14/173)时,统一混沌系统的全局指数吸引集问题.通过线性变换和广义Lyapunov函数方法,给出了系统最终上界的精确估计.所得结果发展和丰富了现有混沌系统吸引集的结果,并将在混沌控制和同步中得到广泛应用.

统一混沌系统;全局指数吸引集;广义Lypunov函数

1 引言

自从20世纪60年代Lorenz在气象数值研究中偶尔发现了第一个混沌吸引子以来[1],混沌已在许多领域中获得了巨大而深远的发展[25].特别是最近十多年来,混沌控制和同步得到广泛而深入的研究[25],其中许多结论的证明都用到了混沌系统最终有界的假设,因此对混沌系统最终有界性的研究显得非常重要.但由于混沌系统的方程组是非线性的,进行纯理论分析较困难.直到2002年,一些作者才首次从数学理论的高度严格论证了Lorenz吸引子存在性的信息[67].文献[8]针对Lorenz系统,得到系统全局吸引集的一个圆柱形估计式和一个球形估计式.随后,针对Lorenz系统,在不同的条件下,又有一些新的结果出现[913].

文献[2]提出了一类统一混沌系统:

当 α∈[0,1]时,系统 (1)具有混沌吸引子.文献 [9-10]利用 Lagrange极值理论和广义 Lyapunov函数,给出了统一混沌系统的全局吸引集和正向不变集的估计结果.最近,文献[11-13]通过构造广义正定径向无界Lyapunov函数,给出了Lorenz系统全局指数吸引集的统一结果,囊括了目前一些类似结果为特例.但是以上结果都是基于α∈[0,1/29)的前提,对于在其他范围时相应混沌系统的全局吸引集问题还少有人研究.本文将考虑α∈[1/29,14/173)时,统一混沌系统(1)的全局指数吸引集问题.

由于α∈[1/29,14/173)时,系统(2)的线性部分系数矩阵的主对角元参数含有-dα≥0,文献[12-13]的方法(仅适合主对角元都为负数的情况),在此已不再适合,需要考虑新的方法.本文将先给出一些引理,再通过线性变换和广义Lyapunov函数方法,给出系统(2)吸引集的指数估计式.

2 全局指数吸引集

3 结论

针对参数α∈[1/29,14/173)时,统一混沌系统的线性部分系数矩阵的主对角元中含有非负参数的情况,本文利用广义Lyapunov函数方法研究了其全局指数吸引集问题,给出了系统吸引集的精确估计,推广了现有结果.所得结果可直接应用到混沌控制和同步中.

附录

[1]Lorenz E N.Deterministic non-periodic fl ow[J].J.Atoms.Sci.,1963,20(3):130-141.

[2]陈关荣,吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京:科学出版社,2003.

[3]王兴元.复杂非线性系统的混沌[M].北京:电子工业出版社,2003.

[4]关新平,范正平,陈彩莲,等.混沌控制及其在保密通信中的应用[M].北京:国防工业出版社,2002.

[5]杨万利,王铁宁.非线性动力学理论及应用[M].北京:国防工业出版社,2007.

[6]Tucker W.A rigorous ODE solver and Smale′s 14 problem[J].Found.Comput.Math.,2002,2:53-117.

[7]Stwart I.The Lorenz attractor exists[J].Nature,2002,406:9498-949.

[8]Leonov G A.Bound for attractors and the existence of Hornoclinic orbits in the Lorenz system[J].J.Appl. Math.Mech.,2001,65(1):19-32.

[9]Li D,Lu J,Wu X,et al.Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,23:529-534. [10]Li D,Lu J,Wu X,et al.Estimating the ultimate bound and positive invariant set for the Lorenz system and a uni fi ed chaotic system[J].Journal of Mathematical Analysis Application,2006,323:844-653.

[11]廖晓昕.论Lorenz混沌系统全局吸引集和正向不变集的新结果即对混沌控制与同步的应用[J].中国科学:E辑,2004,34(12):1404-1419.

[12]廖晓昕,罗海庚,傅予力,等.论 Lorenz系统族的全局指数吸引集和正向不变集 [J].中国科学:E辑, 2007,37(6):757-769.

[13]Liao X X,Fu Y,Xie S,et al.Globally exponentially attractive sets of family if Lorenz systems[J].Science in China(Ser.F),Information Sciences,2008,51:283-292.

New results of globally exponentially attractive set of
a uni fi ed chaotic system

Ju Peijun,Tian Li,Kong Xianming,Zhang Wei,Liu Guocai
(Department of Mathematics and System Science,Taishan University,Taian 271021,China)

The globally exponentially attractive set of a uni fi ed chaotic system with the parameter α∈[1/29,14/173)was discussed by using linear reformation and the generalized Lyapunov function,and the explicit estimations of the ultimate bound is derived.The established theorems in this paper develop and extend the existing achievements on attractive set of chaotic system.The obtained results will fi nd wide application in chaos control and synchronization.

uni fi ed chaotic system,globally exponentially attractive set,generalized Lyapunov function

O29;O415.5

A

1008-5513(2012)01-0113-06

2011-06-10.

山东省软科学研究计划项目(2010RKGA2051).

鞠培军(1975-),硕士,研究方向:混沌系统,时滞系统.

2010 MSC:03C65