《线性代数》中矩阵秩的几点补充

王宏兴，张娜娜（.淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南3038；.阜阳市颖东区赵店中学，安徽阜阳 36000）

《线性代数》中矩阵秩的几点补充

王宏兴1，张娜娜2
（1.淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南232038；2.阜阳市颖东区赵店中学，安徽阜阳 236000）

秩是矩阵的主要特征之一，是《线性代数》教学中的重要知识点之一。对《线性代数》中关于矩阵秩的内容给出几点补充：简述初等变换在矩阵秩研究中的重要性、矩阵秩相关研究的最新进展及其在多个数学分支中的应用。

矩阵；秩；初等变换

1879 年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius）在其论文《On linear substitutions and bilinear forms》中首次引入“rank”（秩）一词。秩是矩阵的主要特征之一。秩是《线性代数》教学中的重要知识点之一，在众多的数学分支中被广泛应用。

本文主要目的是对本科教材《线性代数》中关于矩阵秩的内容给出几点补充：应用初等变换给出的秩的一些结论、简述秩研究的最新进展及其在众多领域应的应用等。希望通过这里的定理、例题和简介，使学生了解初等变换在秩研究中的重要性、秩在各数学分支研究中的应用、培养学生对数学的兴趣。

1 秩与初等变换

矩阵初等变换是研究矩阵秩的主要工具之一，是矩阵论中教学中要求学生理解并熟练掌握的知识点之一。但是，多数学生对矩阵初等变换仅仅停留在理解的层面上，没有在实质意义上理解矩阵初等变换。究其原因是没有认真地思考、深入地研究在矩阵被实施初等变换后所带给矩阵的深刻变化。本小节首先给出矩阵秩的定义、矩阵初等变换的基本性质、运用初等变换证明Frobenius秩不等式，最后列出若干个运用初等变换给出的结果。

定义1设A∈Fm×n.若A有一个r阶子式不为0，且A的所有r+1阶子式（假设A有r+1阶子式）全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rank（A）=r。若A=0，规定rank（A）=0。

定理1初等变换不改变矩阵的秩。

定理2（Frobenius秩不等式）设A∈Fm×n，B∈Fn×t, C∈Ft×s，则

rank（ABC）≥rank（AB）+rank（BC）-rank（B）。证因为

所以，由定理1得

故Frobenius秩不等式成立。

在文[1]中Y.Tian和G.P.H.Styan进一步的研究Frobenius秩不等式，给出如下等价关系：

rank（ABC）=rank（AB）+rank（BC）-rank（B）等价于

等价于

存在X和Y满足BCX+YAB=B。

在定理2中取B:=In，C：=B,则得Sylvester秩不等式。

定理3（Sylvester秩不等式）设A∈Fm×n，B∈Fn×t，则

rank（ABC）≥rank（A）+rank（B）-n。

下面的三个秩等式定理是最近发表在学术期刊上的，其证明可以从参考文献得到，这里我们不一一赘述。其中In表示n阶单位矩阵。

定理4[1，2]设A∈Fm×n，则rank（A-A3）=rank（A）+rank（Im+A）+rank（Im-A）-2m

如果是可逆的，则有

定理6[2]设P∈Fm×m，Q∈Fn×n，A∈Fm×n其中P，Q是幂等矩阵，则

这些结果漂亮而且深刻，证明的过程需要运用较强的技巧去构造分块矩阵和灵活运用定理1。有兴趣的学生自己给出证明，体会证明的技巧和关键。

下面给出文[4]的一个相对复杂的秩等式，更多的相关秩等式及其研究可以见[4]。

定理7[4]设A∈Fm×n，X1AX1=X1和X2AX2=X2。则有关于以下秩等式成立：

2 秩的应用

大量的秩等式和秩不等式在不同的领域被广泛的运用来处理各种问题。以下我们给出在秩等式和秩不等式在矩阵方程解的存在性、数值计算等几方面的应用。

例2矩阵方程有解有解等价于

应用秩表示矩阵方程解的存在性的结果还有众多。例如在文[1]中给出：A-BX-YC=0=m有解等价于

应用秩和惯性指数描述等矩阵不等式解存在性的结论可以在文[5]中查阅（这类不等式在控制论中被广泛研究和应用）。

证明：若di=di+1，则di是A的一个特征值。

证明：由于

3 结论

秩在众多相关学科有着广泛的应用，如文[7-10]给出秩在统计模型上的应用、文[11]给出了矩阵秩和惯性指数在控制论中的应用以及背景介绍等。数学家在不同领域应用不同的方法研究秩，取得了丰硕的成果。如田永革、刘永辉等应用初等变换研究秩等式及其应用[1-5，7-9，12]；AIM Minimum Rank-Special Graphs Work Group等在图论中研究秩及其应用[13，14]；王卿文等在四元数除环上研究矩阵的秩等式及其应用[15]，等。

希望通过本文的例题和介绍培养学生的发散思维，激发学生对秩等式、初等变换的兴趣，并希望他们投入更多的时间和精力去深入思考问题的本质、分享数学带来的快乐。同时也希望相关教材中有更多关于矩阵秩的性质及其应用的介绍。

[1]Y.Tian，G.P.H.Styan，Whendoeshold？[J]. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，33（2002）：127-137

[2]Y.Tian，Rankequalitiesrelatedtogeneralized inverses of matrices and their applications[D]. Master Thesis，Montreal，Quebec：Canada，1999

[3]Y.Tian，G.P.H.Styan，Rankequalitiesfor idempotentandinvolutorymatrices[J].Linear Algebra Appl.335（2001）：101-117

[4]Y.Tian，Rank equalities related to outer inverses ofmatricesandapplications[J].Linearand Multilinear Algebra，49（2002）：269-288

[5]Y.Tian，Equalities and inequalities for inertias of Hermitianmatriceswithapplications[J].Linear Algebra Appl.433（2010）：263-296

[6]J.W.Demmel，Applied Numerical Linear Algebra [M].SIAM：Philadelphia，1997

[7]Y.Tian，A.M.Herzberg，A-minimaxandD-minimax robust optimal designs for approximately linear Haar-Wavelet models[J].Comput.Statist. Data Anal.50（2006）：2942-2951

[8]Y.Tian，SomedecompositionsofOLSEsand BLUEsunderapartitionedlinearmodel[J]. Internat.Statist.Rev.75（2007）：224-248

[9]Y.Tian，Y.Takane，Onsumdecompositionsof weightedleast-squaresestimatorsunderthe partitioned linear model[J].Comm.Statist.Theory Methods，37（2008）：55-69

[10]C.M.，Gonzalo，K.George，Statistical tests and estimators of the rank of a matrix and their applicationsineconometricmodelling[J]. Econometric Reviews，28，（2009）：581-611

[11]R.E.Skelton，T.Iwasaki，K.Grigoriadis.A unified algebraic approach to linear control design [M].Taylor and Francis：UK，1998

[12]Y.H.Liu，Ranks of solutions of the Linear Matrix Equation AX+YB=C[J].Comput.Math.Appl.52（2006）：861-872

[13]AIMMinimumRank-SpecialGraphsWork Group，Zero forcing sets and the minimum rank of graphs[J].Linear Algebra Appl.428（2008）：1628-1648

[14]IMA-ISU Research Group，Minimum rank of skew-symmetric matrices described by a graph[J]. Linear Algebra Appl.432（2010）：2457-2472

[15]Q.W.Wang，C.K.Li，Ranks and the least-norm of the general solution to a system of quaternion matrixequations[J].LinearAlgebraAppl.430（2009）：1626-1640

O151.21

A

1009-9530（2012）03-0096-03

2011-11-15

淮南师范学院科学研究项目（2011LK80）；安徽省高校省级自然科学研究项目（KJ2012B175）

王宏兴（1981-），男，淮南师范学院数学系讲师，博士，研究方向为数值计算。