课堂教学对学生数学思维的培养

摘要：高等学校的课堂教学，不仅要讲授书本上的知识，更重要的是培养学生正确的思维方法和思维习惯，本文从例题入手，就如何培养学生的数学思维，谈谈自己的认识。

关键词：数学思维；课堂教学；创新；能力

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）01-0199-02

随着社会经济的发展，人们逐渐意识到，高等学校培养的不能只是会做题、考高分的所谓学习型人才，而应该是思维超前、有创造性的创新型人才。高等学校的教学，应该在学生学习课本知识的基础上，掌握学习知识的方法，并能够将学到的理论知识，解决实际问题。换句话说，高等学校的教育，不仅是传授学生书本知识，更重要的是培养他们分析问题和解决问题的能力，特别是培养有创新性思维的能力。

数学思维是人类对数学对象的理性的认识过程，广义的理解包括利用数学这个工具，分析和解决实际问题的思考过程。数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种特殊的思维形式，这是一种高水平的逻辑思维。而要使学生具备创新能力，数学思维的培养是非常重要和必不可少的。数学是一门教人聪明的学科，高等学校数学课程的课堂教学更应注重对学生数学思维的培养。下面结合课堂数学教学的内容，谈谈数学思维的特征。

一、创造性

数学思维的创造性是指思维活动的创新精神，是在新颖地解决问题中表现出来的智力品质。思维的创造性不同于一般的思维活动，它要打破常规的解决问题的方法，将已有的知识或经验进行改组或重建。高水平的创造性思维是指发现了前人未曾发现的新事物，解决了前人未曾解决的问题。一般高水平的创造性思维是指数学家和杰出的数学人才在数学研究中所进行的思维活动。比如数学史上，解析几何的创立、微积分的发现、群论的完成、非欧几何的诞生等，都是高水平的创造性思维的结果。低水平的创造性思维是指这种思维的结果已为他人所完成，但相对于思维者本身而言，是发现了新事物，解决了新问题。一般低水平的创造性思维是指学生在数学学习中所进行的创造性思维活动，即学生能独立地、自觉地掌握数学概念，发现定理的证明，发现教师课堂上所讲例题的新颖解法等，这些都是教师在课堂上引导学生进行创造性思维的具体表现。比如在图论中，要证明命题“完全m叉树，当其树叶数为t，分支数为i时，一定有（m-1）i=t-1。”它可以利用直接方法证明，即利用树和完全叉树的定义，有mi=t+i-1，整理得出结论。还可以启发学生，将m叉树看作是每局有m位选手参加比赛的单淘汰赛计划表，树叶数t表示参加比赛的选手数，分支点数i表示比赛的局数，由于每局比赛将淘汰m-1位选手，故比赛结果共淘汰（m-1）i位选手，最后剩下一位冠军，因此（m-1）i+1=t，即（m-1）i=t-1。这种证明方法即新颖又有趣，不但培养了学生独立思考、创新思维的能力，又可以活跃课堂气氛，提高学生对枯燥数学的学习兴趣，绝对是一举两得的好事情。

二、严谨性

数学思维的严谨性是考虑问题要严密、有据。比如，数理逻辑的推理证明中，有时会遇到下面这种情况：（1）?坌xF（x） P；（2）F（c） US（1）；（3）?埚xG（x） P；（4）G（c） ES（3）；（5）F（c）∧G（c） T（2）（4）；（6）?埚x（F（x）∧G（x）） T（5）

此例的前提包括?坌xF（x） ，?埚xG（x），但逻辑推理的正确与否，与前提引入的顺序有很大关系。上面推理过程中，先引入的是全称量词?坌xF（x），利用全称指定规则，得到F（c），这是正确的，接着引入存在量词?埚xG（x），利用存在指定规则得到G（c），此时出现了概念性的错误，因为此c非彼c，不能再用同一个字母c表示了，而应指定为G（a），但这样就不能推导出结果。因此在推理证明时，当全称量词和存在量词同时出现在前提中时，一般要先引入存在量词，后引入全称量词，这时两个c才是相同的。这些错误在数学教学中经常碰到，需要教师在教学的各个环节，不断地强调，要求学生解题的每一步，都要有依据，要符合逻辑，让学生逐渐养成严谨的思维习惯。

三、抽象性

数学思维的抽象性是方法和对象的抽象性。对于不同的实际问题，经过多次抽象而得到的形式化的结果。比如在高等数学课程中，求“曲边梯形的面积”时，得到一个结果：A=■■f（ξ■）Δx■；而求“变速直线运动的路程”时，又得到结果：S=■■v（?子■）Δt■。从表面看，他们一个是数学问题，另一个是物理问题，应该没有什么关系，但如果只考虑它们的数学表达式，却是同一种形式的极限，即为“黎曼和”。换言之，从抽象数学思维的角度讲，都可以理解为“函数在某区间上的定积分”。有了定积分的概念、性质和计算方法，这两个实际问题用同一种方法就迎刃而解了。所以在课堂教学中，要让学生充分理解这种抽象性，去伪存真，找到解决问题的一般方法。

四、灵活性

数学思维的灵活性是不会过多地受思维定势的影响，善于从旧的思维模式或通常的制约条件中摆脱出来。思维定势也称为惯常思维，它是遵循已有的思路去考虑问题，反映了思维过程的连续性、渐进性和联结性，是思维惯性的表现。而灵活性通常反映为逆向思维，它的基本特征是：从已有的思路的反方向去思考问题，反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性，是对思维惯性的克服。而数学思维既需要惯常思维，又需要逆向思维。在解决某些问题时，逆向思维往往显得更加重要。

五、广阔性

数学思维的广阔性是从多方面思考同一个问题，可以表现为对同一个事实做出多方面的解释，对同一个对象用多种方式表达，对同一个问题考虑出多种不同的解决方案。比如高等数学中，计算三重积分I=■z■dv，其中Ω为x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz之公共部分。下面分别用三种方法解决这个问题。

（1）在柱面坐标系下，将其化为三次积分为：

I=■dθ■rdr■z■dz

（2）在球面坐标系下，将其化为三次积分为：

I=■dθ■cos2ψsinψdψ■r4dr

（3）用截痕法，将其化为先二后一的积分为：

I=■z2dz■d?滓+■z2dz■d?滓

这三种方法都可以得到正确的结果，但通过对计算过程比较发现，利用截痕法计算最简单。此时要引导学生仔细观察，截痕法在什么情况下使用最简单，通过举例，让他们自己总结出：当被积函数为一个变量的函数时，利用截痕法，先计算的二重积分，实际上是积分区域（截面）的面积，此时三重积分转化为定积分。因此在课堂上，教师要和学生一起分析，引导学生去思考、去实践，最后找到解决问题的最佳方案。

总之，高等数学的课堂教学，除了要教会学生课本知识外，更要有意识地培养学生正确的思维方法和思维习惯，若能使学生潜移默化的将其渗透到自己的生活和将来的工作中，他们将终身受益。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]Bitting，M.L.微积分及其应用（原书第8版）[M].杨奇，毛云英，译.北京：机械工业出版社，2006.

[3]朱晓鸽.逻辑析理与数学思维研究[M].北京：北京大学出版社，2009.

作者简介：王新心（1964-）女，河北唐山人，理学学士，副教授，主要从事高等数学、线性代数及概率统计等课程的教学研究工作。