函数图像对称性综述

齐坤

【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

【关键词】函数;对称性;推论

本文拟通过函数自身的对称性、相关函数图像的对称性和不同函数之间的对称性这三个方面来探讨函数与对称有关的性质.

一、函数y=f(x)图像自身的对称性

定理Ⅰ

1.函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)诤数y=f(x)图像关于直线x=a+b[]2对称.

推论 函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)诤数图像y=f(x)关于y轴对称.

2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c诤数y=f(x)关于点a+b[]2,c对称.

推论 函数y=f(x)满足f(x)+f(-x)=0诤数y=ゝ(x)关于原点对称.

定理Ⅱ

1.若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b，c)成中心对称（a≠b）,则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

2.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b）,则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

3.若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b）,则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

二、相关函数图像的对称性

定理Ⅲ

1.函数y=f(x)为偶函数诤数y=f(ax+b)图像关于直线x=-b[]a对称.

2.函数y=f(x)为奇函数趛=f(ax+b)图像关于点-b[]a，0对称.

定理Ⅳ

1.函数y=f(ax+b)为偶函数诤数y=f(x)图像关于直线x=b对称.

2.函数y=f(ax+b)为奇函数诤数y=f(x)图像关于点（b，0）对称.

三、不同函数图像之间的对称性

定理Ⅴ

1.函数y=f(x+a)与y=f(-x+b)图像关于x=b-a[]2对称.

推论1 函数y=f(x)与y=f(-x)图像关于y轴对称.

推论2 函数y=f(x)与y=f(2a-x)图像关于直线﹛=猘成轴对称

（记忆方法：由x+a=-x+b解得）

2.函数y=f(x+a)与y=2c-f(-x+b)图像关于点b-a[]2，c对称.

推论1 函数y=f(x)与y=-f(-x)图像关于原点对称.

推论2 函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)图像关于点A(a,b)成中心对称.

（记忆方法：对称点的横坐标由x+m=-x+n解得）

定理Ⅵ

1.函数y=f(x)与a-x=f(a-y)图像关于直线x+﹜=猘成轴对称.

2.函数y=f(x)与x-a=f(y+a)图像关于直线x-y=a成轴对称.

推论 函数y=f(x)图像与x=f(y)的图像关于直线﹜=獂成轴对称.

限于篇幅以上定理的证明这里不再赘述.