九宫格问题的探讨九宫格问题的探讨

赵立旺 胡冰瑶 汪 勤

【摘要】本文解决的是九宫格问题，通过对九宫格的位置和数据的分析，首先得出各向三数之和为15的结论；进一步建立数学模型，突出正中间位置，得出正中间位置的数字须为5；然后对数字奇偶性的分析、表格位置分析等其他条件的分析，并采用排列组合知识得出8种结果.

【关键词】九宫格;位置分析;奇偶性分析;排列组合;数学模型オ

1.问题重述

将1~9填入下表，使得表中横向、列向、对角向的三数之和相等而且每个数字只能用一次.

2.问题假设与分析

(1）横向、列向、对角向的三数之和相等

(2）九宫格位置分析

①獳区包括角落的四个数分别设为A1,A2,A3,A4；

②獴区包括边中间位置的四个数分别设为B1,B2,B3,B4；

③獵区为正中间位置的一个数獵.

(3）1~9可以分为两类

奇数：1,3,5,7,9;

偶数：2,4,6,8.

3.模型建立与结论

(1）求三数之和

设该三数之和为獶,则：

3獶=(A1+B2+A2)+(B1+C+B3)+(A3+B4+A4)=1+2+3+…+9=45.

故獶=15,即三数之和恒为15.

(2） 求正中间位置数

“米”字相加之和为4个15，即60；“三”（或“川”）字相加之和为3个15，即45，两和之差为3个正中间数，从而可得正中间数值为15[]3=5.详细过程如下：

设正中间的数为x，其他八个数之和为y,则：x+y=15×3.即

x+y=45.（1）

又已知

獳1+C+A4=15；

A2+C+A3=15；

B1+C+B3=15；

B2+C+B4=15.

上述四式相加可得4C+(A1+A2+A3+A4+B1+〣2+狟3+B4)=15×4,即

4x+y=60.（2）

联立方程（1）和（2）可得x=5，即正中间位置的数为5.

(3）求其他位置数

由于15是奇数，故对横向、列向、对角向的三数要求要么全为奇数，要么只有一个奇数.若獳区为奇数则需獴区也为奇数方能满足条件，而目前只有4个奇数（其中“5”已确定）可用，故产生矛盾，因此獳区只能为偶数，獴区为奇数.

不妨先填写獴区，设獴1=1，B2=3，则B3=9,B4=7,观察数据知A4须为小于6的偶数，尝试填将A4赋值4后发现A3需为4，与条件矛盾，故A4=2，从而求出A2=4，A1=8，A3=6.验证之皆成立.

由此可见，獴1,B2的确定决定了九宫格的唯一格式，只要找出B1，B2的全排列便找出了九宫格的所有格式.（B1，B2）不能为（1,9）（9,1）（3,7）（7,3），由排列组合知（B1，B2）有(獳24-4)个，即8组.

从而可得九宫格的所有格式：

【参考文献】オ

韦恩•古德.数独［M］.海口：南海出版公司，2005.