输油管的布置数学模型

吴丽华 程敬松

【摘要】解决两个问题：一、根据两家炼油厂、铁路线、待建车站间的位置关系，给出铺设输油管管道的三种合理方案及对应的最少铺设费用.二、结合具体数据，得出三种铺设管道方案中的最小费用及最佳铺设方案.

【关键词】最少费用；加权平均；数学模型オ

问题一 某油田欲在长度为L的铁路线一侧建造炼油厂A，B，它们到铁路线的垂足为C，D（见附图），同时在铁路线上建一个车站E运送成品油，根据炼油厂到铁路线距离a,b和炼油厂间距离的不同情形，提出设计方案.设计方案时，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，管线的铺设费用不因地质、深度等客观因素而增加.

附图 炼油厂、铁路位置图

建立直角坐标系，利用对称性得出车站的选址应在C,D之间.针对共同管线长度s在s=0,0a情况下，给出铺设方案.

方案1 s=0，即炼油厂需要各自铺设管线来完成运输工作.图1给出A，B到车站E之间的最短路径AE+BE，则铺设管线的长度AE+EB=L2+（a+b)2，铺设管线费用Q1的最低值为

玀in玅1=q1×L2+(a+b)2，其中，q1为非共用管线的费用.

方案2 0

图1 管线布置方案1 图2 管线布置方案2オオ

当q1≠q2时，铺设管线费用Q2的最低值为玀in玅2=﹒1×狶2+(b+2s-a)2+q2×s.其中，s为共用管线的长度，q2为共用管线费用.

当q1=q2时，玀in玅2=q1×（L2+（b+2s-a)2+s).

方案3 s=a，可以找出A,B到车站E之间的最短路径BA+AE，见图3.

图3 管线布置方案3オオ

当q1≠q2时，铺设管线费用Q3的最低值为玀in玅3=﹒1×狶2+(b-a)2+q2×a.

当q1=q2时，玀in玅3=q1×（L2+(b-a)2+a).

方案4 s>a，可分为3种情况：ab.

图4 管线布置方案4オオ

这3种情况的最短路线均大于s=a时的路线长，故该方案不予采用.

综上所述，方案1，2，3为合理的管线布置方案.

问题二 若附图中a=5，b=8，c=15，l=20（玨m），且〢厂位于郊区（Ⅰ区域），B厂位于城区（Ⅱ区域），虚线为分界线.所有管线的铺设费用为每千米7.2万元，城区的管线铺设还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二、三具有乙级资质）进行了估算，结果如下表所示：

工程咨询公司[]公司一[]公司二[]公司三

附加费用（万元/玨m）[]21[]24[]20

请给出管线布置方案及相应的费用.

附加费用的单价可根据三家工程咨询公司的估算值计算.

用极差法构造比较矩阵F和判断矩阵G，求出权重向量.

F=(f﹊j)=F[]g1[]g2[]g3[]r璱

g1[]1[]2[]2[]5

g2[]0[]1[]1[]2

g3[]0[]1[]1[]2

其中当g璱比g璲（i≠j）重要时，f﹊j=2；当g璱与g璲同等重要时，f﹊j=1；当g璲比g璱（i≠j）重要时，f﹊j=0.r璱=А5[]j=1f﹊j(i,j=1,2,3).

G=(g﹊j)=g[]g1[]g2[]g3[]M璱[]W璱[]￤璱

g1[]1[]9[]9[]81[]4.32[]0.82

g2[]0.11[]1[]1[]0.11[]0.48[]0.09

g3[]0.11[]1[]1[]0.11[]0.48[]0.09

其中M璱=А3[]j=1g﹊j，W璱=3[]M璱，￤璱=W璱[]∑3[]i=1W璱В╥=1,2,3），А3[]i=1W璱=5.28，А3[]i=1И￤璱=1.

得三家工程咨询公司估算值的权重向量为（0.82,0.09,0.09），则城区附加费用

q=21×0.82+24×0.09+20×0.09=21.28（万元/玨m）.

由于炼油厂B的铺设管线受城区管线长度和郊区管线长度的限制，在城郊分界线上有点B′(c,z)(0≤z≤8)，使经过该点的管线总费用最低.同时铺设管线共分为4段距离：A到E的管线、B′到E的管线、城区内铺设管线、共用管线.通过分析E的位置和共用管线长度s的不同情况，并根据方案1，2，3分别找出目标函数，可列出费用的数学模型.

方案1 玀in玅1=7.2×((z+5)2+152+52+(8-z)2)+21.18×52+(8-z)2.

玸.t.0≤z≤8.

用獿ingo求得：当B′（15，7.19），车站为（6.15，0），无共用管线时，玀in玅1=282.916万元.

方案2 图2中记点F(x,y).

玀in玅2=7.2×(y+152+(z-2y+5)2+52+(z-8)2)+21.18×52+(z-8)2.

玸.t.(5-y)(15-x)=x(z-y),

15y-(z-5)x≤75,

0≤x≤15,

0≤y≤8,

0≤z≤8.

解得：B′（15，7.36）,E（5.45，0），共用管线长1.85 玨m时，玀in玅2=281.085万元.

方案3 玀in玅3=7.2×(5+(z-5)2+152+52+（z-8）2）+21.18×52+（z-8）2.

玸.t.0≤z≤8.

解得：B′（15，7.77），E（0，0），共用管道长5 玨m时，玀in玅3=287.876万元.

显然，方案2总费用最少,为281.085万元，具体管线的布置见图5.

图5 管线布置最优方案オオ

该类解决问题的方法也可推广应用于港口的货物调运和求公路、铁路以及管道等交叉线路的铺设费用最小值等问题.