ex导数公式的推导及简单应用

唐孝法 韩广发

【摘要】本文利用极限的基本知识、复合函数求导法则，在高职高专学生的知识范围内推导出指数函数的求导公式.

【关键词】极限;复合函数;指数函数;等价无穷小オ

由于高职高专教学的特点，通常我们在介绍导数公式的时候，都是直接给出基本公式，忽略其证明.特别是，很多高职高专的教材中不介绍反函数的求导公式.那么，学生在学习的时候只能是机械地记忆导数公式，很难理解导数公式的由来.例如，玡瑇的导数公式就是直接给出的.本文的目的，就是利用极限的知识、复合函数求导法则，在高职高专学生的知识范围内推导出指数函数的求导公式.让学有余力的学生能够更好地理解相关内容，加深对公式的理解.

一、预备知识

我们首先来回顾一下相关的基础知识、基本概念：

1.第二个重要极限

﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡或﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡.

2.导数的定义

f′(x)=﹍imΔ玿→0Δ珁[]Δ玿=﹍imΔ玿→0f(x+Δ玿)-f(x)[]Δ玿.

3.复合函数导数

如果u=φ(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=φ(x)可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x可导，且其导数为：

玠珁[]玠玿=f′(u)φ′(x).

二、幂函数xα与指数函数玡瑇求导法则的关系

首先我们利用导数的定义来推导函数玪n玿的导数公式：

1.玪n玿的导数公式的推导

(玪n玿)′=﹍imΔ玿→0玪n(x+Δ玿)-玪n玿[]Δ玿

=﹍imΔ玿→0玪n1+Δ玿[]x1[]Δ玿

=﹍imΔ玿→01[]x玪n1+Δ玿[]x瑇[]Δ玿

=1[]x玪n玡=1[]x.

下面我们利用玪n玿与xα的导数公式和复合函数的求导法则来推导玡瑇的导数公式：

2.玡瑇导数公式的推导

由(xα)′=αx│-1，则(玪n玡﹛α)′=1[]玡﹛α(玡﹛α)′=αx│-1.

(e﹛α)′=αx│-1玡﹛α=玡﹛α(xα)′.

令u=xα，则可得(玡瑄)′=玡瑄u′.

所以(玡瑇)′=玡瑇•x′=玡瑇.

事实上，我们也可利用玡瑇的导数公式与复合函数的求导法则反过来推导出xα的导数公式：

(xα)′=(玡┆玪n玿α)′=玡┆玪n玿α(玪n玿α)′=xα(α玪n玿)′=xαα[]x=αx│-1.

三、一些应用

在高职高专讨论范围类，还有很多结论我们也是直接给出的.这些结论，我们可以利用玡玿导数公式加以简单证明，以加深学生对这些结论的记忆和理解：

1.a瑇的导数公式

(a瑇)′=(玡┆玪n玜瑇)′=(玡﹛玪n玜)′=玡﹛玪n玜(x玪n玜)′=玡﹛玪n玜玪n玜

=a瑇玪n玜.

2.玡玿-1~x(x→0)

证明 由导数的定义

(玡瑇)′=﹍imΔ玿→0玡瑇(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇.

オ﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=1.

于是有﹍im玿→0(玡玿-1)[]x=1.

即玡瑇-1~x(x→0).オ

【参考文献】オ

［1］杨天明.高等数学［M］.南京:南京大学出版社,2009.

［2］蒋银山.幂指函数求导方法归纳［M］.考试周刊,2011.

［3］刘玉琏.数学分析讲义［M］.北京:高等教育出版社,2003.