数形结合求最值数形结合求最值

王成兵

在解决与数量相关的问题时,有些用纯数量的方法很难解决，可考察其结构特点，找出与其对应的几何背景，从而利用几何图形的性质,帮助我们找出解决问题的方法.本文主要说明如何根据函数式的结构特点，利用切线的斜率来求最值.

一、构造圆的切线求最值

例1 求函数y=玸in玿+2[]玞os玿-3的最值.

分析 设a=玞os玿,b=玸in玿，显然P(a,b)是单位圆上的点，(3,-2)是定点，设为A，则y是定点A与单位圆上动点P的连线的斜率,y的最值即是要求斜率的最值，由A向单位圆引切线AP1和AP2，则AP1和AP2的斜率就是所求的函数的最值.（如图1）设AP的方程为y+2=k(x-3)，即kx-y-3k=0.∵AP是切线，∴它到圆心O的距离等于半径1，即|3k+2|[]k2+1=1，解得k1,2=-3±3[]4，这就是两个斜率的最值，也就是所求函数的最值，即y┆玬ax=-3+3[]4,﹜┆玬in=-3-3[]4.

例2 求函数y=1-x2[]2+x的最大值.

解 由定义知1-x2≥0且2+x≠0，∴-1≤x≤1，ス士缮鑨=玞osθ，θ∈［0，π］，ピ蛴衴=玸inθ[]玞osθ+2=玸inθ-0[]玞osθ-(-2)，可看作是动点M（玞osθ，玸inθ）(θ∈［0，π］)与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程x=玞osθ,

y=玸inθ,θ∈［0，π］，即x2+y2=1（y∈［0，1］）是半圆（如图2）.ド枨邢呶狝T，T为切点，﹟OT|=1，|OA|=2，

∴k〢T=1[]3，∴0≤k〢M≤1[]3.即函数的值域为0，3[]3，ス首畲笾滴3[]3.

二、构造抛物线的切线求最值

例3 求f(x)=x2+3x2+1的最小值.

分析 本题是一道常规的函数求最值问题，常用的方法是利用基本不等式或函数的单调性来解决.我们可以把式子进行简单的变形，即可看出其几何意义.设a=x2+1(a≥1),则b=x2+3=x2+1+2=a2+2，∴点(a,b)在抛物线y=x2+2(x≥1)上，此时f(x)=b[]a，可理解为抛物线上的点(a,b)与原点(0,0)连线的斜率（如图3），则原题转化为求斜率k的最小值.设过原点(0,0)的直线方程为y=kx，由题可知，当直线y=kx与抛物线y=x2+2(x≥1)相切时，k有最小值，即y=kx,

y=x2+2輝2-kx+2=0，当Δ=0时，可得k=±22，由图可知k=22，∴原函数的最小值为22.此时切点为(2,4)，即当x=2时有最小值为22.

三、构造椭圆的切线求最值

例4 已知a>b>0,θ为锐角，求f(θ)=a玸ecθ-b玹anθ的最小值.

分析 ∵f(θ)=a玸ecθ-b玹anθ=a[]玞osθ-b玸inθ[]玞osθ=a-b玸inθ[]玞osθ=a-b玸inθ[]0-(-玞osθ),

∴此式可理解为定点A(0,a)与动点P(-玞osθ,b玸inθ)的连线的斜率.

∵a>b>0,θ为锐角，∴动点P(-玞osθ,b玸inθ)在椭圆x2+y2[]b2=1(x<0,y>0)上（如图4）.

∴当直线AP与椭圆相切时，斜率f(θ)=k取最小值，则切线方程为y=kx+a，代入椭圆方程x2+y2[]b2=1(x<0,﹜>0),并化简可得(b2+k2)x2+2akx+a2-b2=0.

由Δ=0可得b2-a2+k2=0(k>0)，∴k=a2-b2，ァ鄁(θ)的最小值为a2-b2.