一道2009年高考题的改编及多种解法

黄雪梅

【摘要】对2009年安徽省高考理科试卷第21题（Ⅱ）进行了改编，并给出三种解法.

【关键词】高考题；改编；多种解法オ

题目 首项为正数的数列{a璶}满足a﹏+1=1[]4(a2璶+3),n∈N+.(Ⅱ)若对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶,求a1的取值范围.（安徽省2009年高考理科21题）

改编题目 首项为正数的数列{a璶}满足a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］,a>1,n∈N+.若对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶,求a1的取值范围.

解法一 由a﹏+1-a璶=1[]a(a璶-1)［a璶-(a-1)］知：

(1)当a>2时,一方面a﹏+1>a璶赼璶<1或a璶>a-1.另一方面，若0a-1,则a﹌+1>1[]a［(a-1)2+(a-1)］=a-1.

根据数学归纳法,0

a1>a-1讵゛璶>猘-1,衝∈N+.

综上可知：对一切n∈N+,

都有a﹏+1>a璶0a-1.

(2)当a=2时,由a1>0,a﹏+1=1[]2(a2璶+1)以及数学归纳法,可得a璶>0,衝∈N+.故a﹏+1>a璶赼璶>0,a璶≠1.

另一方面,若a璳>0,a璳≠1,则

a﹌+1=1[]2(a2璶+1)≠1,a﹌+1>0.

由数学归纳法,a1>0,a1≠1赼璶>0,a璶≠1,衝∈N+.

综上可知：对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼1>0,a1≠1.

(3)当1a璶赼璶>1或a璶

则0

若a璳>1,则a﹌+1>1[]a［12+(a-1)］=1.

由数学归纳法,01赼璶>1,衝∈N+.

综上可知：对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶01.

解法二 a﹏+1-a璶=1[]a(a璶+a﹏+1)(a璶-a﹏-1).

由解法一知,a璶>0,衝∈N+.

因此a﹏+1-a璶与a璶-a﹏-1同号.ビ墒学归纳法,衝∈N+,a﹏+1-a璶与a2-a1同号.び a2=1[]a［a21+(a-1)］>a1,有

a21-aa1+(a-1)>0.

(1)当a>2时,0a-1.因此对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶0a-1.

(2)当a=2时,a1>0,a1≠1.因此对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼1>0,a1≠1.

(3)当11.因此对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶01.

解法三 首先a﹏+1-a璶=1[]a(a璶-1)［a璶-(a-1)］.

由解法一知a璶>0,衝∈N+.

由a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］可得：

a﹏+1-1=1[]a(a璶+1)(a璶-1),a﹏+1-1与a璶-1同号.

根据数学归纳法,衝∈N+,a﹏+1-1与a1-1同号.

由a﹏+1=1[]a［a2璶+(a-1)］可得：

a﹏+1-(a-1)=1[]a［a璶+(a-1)］［a璶-(a-1)］,

a﹏+1-(a-1)与a璶-(a-1)同号.

根据数学归纳法,衝∈N+,a﹏+1-(a-1)与a1-(a-1)同号.

(1)当a>2时,对一切﹏∈狽+

都有a﹏+1>a璶0a-10a-1.

(2)当a=2时,对一切n∈N+都有a﹏+1>a璶赼璶>0,a璶≠1赼1>0,a1≠1.

(3)当1a璶0101.