浅谈复数的开方运算

陆星 王颖

【摘要】数域的扩充，给很多原本很难解决的问题带来了新的思路，但初学复数时，又常常会碰到与实数中不太一致的地方.本文从开方运算这一方面来讨论一下复数与实数的区别与联系.

【关键词】复数；开方运算オ

数域从实数域扩展到复数域，使负数不能开根号这个问题得到了解决.复数的引入也给很多领域带来了方便，促进了科学和工程的极大发展.但我们初学复数时却会碰到一些小小的问题，先来看一看下面两道题：

-1×-1=?(Ⅰ)

(-1)×(-1)=?(Ⅱ)

其中一种解法是：

-1×-1=玦2×玦2=(±玦)×(±玦)=±1.

(-1)×(-1)=1=1.

这是我们最容易想到的一种解法，因为复数引入时用的就是玦2=-1.但若想到另一种表示方法——玡┆玦π=-1，则有下面的一种解法：

-1×-1=玡﹊π×玡﹊π=玡﹊1[]2π×玡﹊1[]2π=玡﹊π=-1.

(-1)×(-1)=玡﹊π×玡﹊π=玡﹊2π=玡﹊π=-1.

两种方法的结果截然不同，特别是在第二种解法中，（Ⅱ）的结果竟然为-1，这与我们的常识有悖：在实数域中，(Ⅱ)式结果显然为1.数域推广到复数域，结果却变成了-1，是不是这种推广有问题呢？如果不是，结果为什么会不一样呢？

在继续讨论之前，我们先来仔细看看复数的几种表示方法：

代数式：复数z=x+玦珁，其中x，y为实数；

三角式：

复数z=ρ(玞osφ+玦玸inφ)，其中ρ为复数z的模，φ为复数z的辐角；

指数式：

复数z=ρ玡﹊φ，其中ρ为复数z的模，φ为复数z的辐角.

需要注意的是，一个复数的辐角值不能唯一确定，可以取无穷多个值，并且彼此相差2π的整数倍.通常记φ=獳rg珃，并规定，以玜rg珃表示其中满足条件-π<獳rg珃≤π

的一个特定值，并称玜rg珃为獳rg珃的主值，或z的主辐角.于是有：

φ=獳rg珃=玜rg珃+2kπ,k=0,±1,±2,±3，….

这个时候，我们或许会发现，前面的问题出在辐角上，我们不妨这样来做：

-1×-1=玡┆玦(π+2k1π)×玡┆玦(π+2k2π)=玡┆玦1[]2(π+2k1π)×玡┆玦1[]2(π+2k2π)=玡┆玦［π+(k1+k2)π］=玡┆玦π玡┆玦(k1+k2)π.

当(k1+k2)为偶数时，上式=-1；当(k1+k2)为奇数时，上式=1.

(-1)×(-1)=玡┆玦(π+2k1π)×玡┆玦(π+2k2π)=玡┆玦［2π+2(k1+k2)π］=玡┆玦［π+(k1+k2)π］=玡┆玦π玡┆玦(k1+k2)π.

当（k1+k2)为偶数时，上式=-1；当(k1+k2)为奇数时，上式=1.

这样，在复数域的结果就包含了实数域的结果.另外，有一种错误做法需要注意：

-1×-1=玡┆玦(π+2kπ)×玡┆玦(π+2kπ)=玡┆玦1[]2(π+2kπ)×玡┆玦1[]2（π+2kπ）=玡┆玦［π+2kπ］=玡┆玦π=-1.

(-1)×(-1)=玡┆玦(π+2kπ)×玡┆玦(π+2kπ)=玡┆玦［2π+4kπ］=玡┆玦［π+2kπ］=玡┆玦π=-1.

这里出现的问题反映了：两个-1的辐角需要区别对待，k的取值并不完全一样.

经过上面的讨论，我们可以肯定地说，从这个题目来看，数域从实数域推广到复数域没有问题.另外，这两道题目也告诉我们，在进行开方运算，选用指数式形式时，辐角应该用獳rgz形式，而不能只用其主值玜rgz，否则将会产生错误.如果我们再仔细想想，便会发现实数中的根号 和复数中的根号 是有一定区别的，在实数中单用一个根号 ，表示的是取某个非负实数的算数平方根，其结果只能是一个值；而在复数中单用一个根号 ，则表示的是对某一个复数进行开方运算（复数没有正负之分，谈不上算数平方根，因此其算数平方根是没有意义的），其结果应该是两个值.那么从这个角度来看，（Ⅱ）的结果一定是两个，而不是一个.这也进一步印证了复数的n次方根有n个不同的值（原因很简单，复数的辐角不唯一确定，k可取一系列的值，开n次方后，k/n就可以加减2π/n的整倍数，从而对于给定的复数，开n次方后，就会有n个不同的值）.