例谈分数加法中的数学思想方法与活动经验

苏明强

《数学课程标准》（修改稿）在总体目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”在这里明确提出“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）的目标要求，《标准》（修改稿）还在教学建议中指出要“引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想”，这是对传统“双基”要求的继承与发扬，凸显新课程对“基本思想”和“基本活动经验”目标的关注和要求。我国基础教育阶段的数学教学历来高度重视“双基”的教学，并取得了举世瞩目的成绩，然而，比较缺乏对“基本思想”和“基本活动经验”的关注和教学，教师对数学基本思想和基本活动经验的认识和实践还不够。笔者认为这里的“基本思想”包括意识形态的数学思想和操作形态的数学方法两个方面，其中，数学思想是分析解决问题的指导思想，数学方法是分析解决问题的操作方法；“基本活动经验”包括外显形态的操作活动和内蕴形态的思维活动两个方面，其中，操作活动是数学学习的重要手段，思维活动是数学学习的根本目的。

下面，通过分数加法的4个具体例子，从基本思想和基本活动经验的角度分析其蕴含的数学思想方法和数学活动经验，盼能为小学数学的教材分析及教学研究提供一种视角和参考。

例1： +

这是一个同分母分数的加法问题，分数的概念和意义是解决这类问题的基础，这是学生在分数加法学习中遇到的第一个难点，初学者容易将分子与分子相加，分母与分母相加，得出的错误结论。从数学思想的角度分析，这里蕴含着数学中的模型思想，它是一个分数加法的模型，赋予情境后的模型可以描述为：一个西瓜平均切成8块，小熊吃了这个西瓜的，大熊吃了这个西瓜的，那么小熊和大熊一共吃了这个西瓜的几分之几？从数学方法的角度分析，这里可以通过“数数”的方法解决问题，具体方法是：一个西瓜平均切成8块，每块一样大，都是这个西瓜的，小熊吃了2块，大熊吃了3块，数一数，小熊和大熊一共吃了5块，就是这个西瓜的。从操作活动的角度分析，如果用圆片代替西瓜，那么主要包括以下操作活动：将一个圆片平均分成8份，先涂出2份表示这个圆的，再涂出3份表示这个圆的。从数学思维活动的角度分析，这里主要包括以下思维过程：因为表示2个，表示3个，所以，+表示2个与3个的和，等于5个即。这是一个非常重要的思维活动过程，它为后续解决异分母分数加法问题奠定了思维活动基础。

例2：+

这是一个异分母分数的加法问题，是学生在分数加法学习中的一次提升，同分母分数的加法是解决异分母分数加法问题的重要基础。从数学思想的角度分析，这里蕴含着转化的数学思想，即需要将异分母分数的加法问题转化成同分母分数加法问题进行解决，这是解决这类问题的基本指导思想。从数学方法的角度分析，实现将异分母分数转化成同分母分数，采用的具体操作方法是“通分”。 “通分”是解决异分母分数加法问题的一种有效数学方法，它的基本知识点是分数基本性质。从操作活动的角度分析，这里主要包括以下操作活动过程：将大小相同的两张正方形纸，一张折出并涂上阴影，另一张折出并涂上阴影，然后将的阴影部分剪下贴到第一张涂阴影的纸上，接着进行观察，体会+的具体过程。从思维活动的角度分析，这里包括以下四个思维过程：一是主观判断的思维过程，+不属于同分母分数的问题，不能直接相加，这一主观判断对于问题的解决至关重要，它的知识基础是同分母分数加法；二是反思判断的思维过程，思考与不能直接相加的根本原因，是它们的分数单位不相同，明确了这一点，就能确保主观判断的准确性；三是分析问题的思维过程，异分母分数相加是一个新问题，必须将它转化成同分母分数相加的问题，这是解决问题的关键性思维过程；四是解决问题的思维过程，思考2和4的最小公倍数以及与的具体通分策略等。

例3：++

从根本上看，这仍然属于异分母分数加法的问题，但是从形式上看，它是三个分数相加的问题，综合了同分母加法和异分母加法的问题，属于同分母和异分母混合运算的问题，它是分数加法运算的再一次提升。从数学思想的角度分析，这里蕴含着数学中的优化思想，寻找解决问题的最优策略是数学精神的重要体现。从数学方法的角度分析，为了达到解题过程的进一步优化，利用加法交换律，采用交换后两个分数位置的方法。从操作活动的角度分析，这里主要是利用加法交换律进行具体演算的过程，即++=++。从思维活动的角度分析，这里主要包括以下思维过程：通过观察和比较，发现和这两个分数的分母相同，而与这个分数的分母不同，然后作出如下判断：“利用加法交换律，先算与的和，再将和与相加，这样的计算比较简便”。

例4：++…+

从根本上看这仍然属于异分母分数加法的问题，但是，从形式上看，这里有两个主要特点，一是分母是两个连续自然数的积；二是共有18个这样的分数相加。这样的分数加法问题是一种全新的挑战，是分数加法常规计算的一次飞跃和提升，通过解决这类问题，不仅思想认识和思维水平会有很大提升，而且还可以使学生真正体会到数学的“美”和“妙”。从数学思想的角度分析，这里主要蕴含着数学中的变换思想，更准确地说是“恒等变换”的思想，通过变换每一个分数的外在形式而使其大小保持不变。从数学方法的角度分析，这里主要使用了“拆分”的方法，它与“通分”的目标指向正好相反，“通分”是将两个分母不同的分数变换成一个分数，而“拆分”是将一个分数变换成两个分母不同的分数，如=-，=-，依此类推。从操作活动的角度分析，这里主要是利用“拆分”的方法进行具体变换的演算过程。从思维活动的角度分析，这里主要包括以下思维过程：通过观察和比较，发现这类问题的两个主要特点，并作出判断“这类问题不能直接用通分的方法进行解决”，然后借助“拆分的思维活动经验”展开想象，发现规律“拆分后除了第一个分数和最后一个分数以外，其他相邻的两个分数都分别相互抵消”，最后作出推理“它们的和就是-=”。

以上四个例子，呈现了分数加法基本数学活动经验的积累过程，外在的操作活动和内在的思维活动交织成数学活动的统一体，操作活动是数学学习的重要手段，思维活动是数学学习的根本目的。随着活动经验的不断积累，数学学习将逐步从借助学具的操作活动理解和学习数学过渡到借助数学思维理解和学习数学。例1和例2侧重于外在操作活动经验的积累，旨在理解同分母和异分母分数加法的原理，例3和例4侧重于内在思维活动经验的积累，这些基本活动经验是后续学习的重要基础，而在问题解决过程中所渗透的数学思想和数学方法，是分数加法深层次的重要内容，它是提高问题解决能力的根本保证，是数学学习的精髓所在，应该引起我们教材分析和教学研究的足够重视。♪