关于曲率流的一些结论

兰海鹏

【摘要】本文将讨论符合大多数曲率流的一组通式的一些经典结论，从而方便读者在具体研究不同类型的曲率流时，可以直接进行参考，简化运算。

【关键词】曲率流;发展方程。

1 前 言

假设X0：Mn→Rn+1是n维浸入紧致光滑子流形，定义主曲率为(λi)1≤i≤n，法向量为n。设X(?,t)：Mn→Rn+1，t∈［0,+∞)是光滑的,令Mt：=X(Mn,t)。本文讨论一组光滑子流形满足ddtX=UkX,k-Fn,X（?，0）=X0 。其中Uk是一光滑函数，F是关于主曲率对称的函数。

2敝饕结论和证明

定理2。1假设gij=＜X,i,X,j＞,则ddtgij=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkigim-2Fhij。

证明 ddtgij=＜ddtX,i,X,j＞+＜X,i,ddtX,j＞

(根据定义ddtX=UkX,k-Fn)

=＜(UkX,k-Fn),i,X,j＞+＜X,i,(UkX,k-Fn),j＞

=＜(UkX,k),i,X,j＞+＜X,i,(UkX,k),j＞-＜(Fn),i,X,j＞-＜X,i,(Fn),j＞

=＜Uk,iX,k,X,j＞+＜UkX,ki,X,j＞+＜X,i,Uk,jX,k＞+＜X,i,UkX,kj＞-＜Fn,i,X,j＞-＜X,i,Fn,j＞。

由gij的定义和Frener-Serret formua可知：

=Uk,i＜X,k,X,j＞+＜UkГmkiX,m,X,j＞+Uk,j＜X,i,X,k＞+＜X,i,UkГmkjX,m＞-＜FhkiX,k,X,j＞-＜X,i,FhkjX,k＞

=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-Fhkigkj-Fhkjgik

=Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-2Fhij。

定理2。2 面积元素满足ddtg=Uk,kg+UkГikig-gFH。

证明 ddt g=121gddtg。

根据［1,pa 104］ddtg=ggijddtgij,我们有

ddtg=121gggijddtgij=12ggijddtgij。

由定理 2。1可得

=12ggij(Uk,igkj+UkГmkigmj+Uk,jgik+UkГmkjgim-2Fhij)

=12Uk,iggijgkj+12Uk,jggijgik+12UkГmkiggijgmj+12UkГmkjggijgim-gFgijhij

=Uk,kg+UkГikig-gFgijhij

=Uk,kg+UkГikig-gFH。

定理 2。3法向量n满足ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。

证明 已知＜X,i,n＞=0是成立的，可得

0=＜ddtX,i,n＞+＜X,i,ddtn＞。

0=＜(UkX,k-Fn),i,n＞+＜X,i,ddtn＞。

0=＜（UkX,k）,i,n＞-＜(Fn),i,n＞+＜X,i,ddtn＞＜X,i,ddtn＞=＜(Fn),i,n＞-＜(UkX,k),i,n＞。

=＜F,in,n＞+＜Fn,i,n＞-＜Uk,iX,k,n＞-＜UkX,ki,n＞。

由于＜X,k,n＞=0和n,i=hkiX,k,可得

F,i-＜UkX,ki,n＞

＜ddtn,n＞=0

=F,i-Uk＜ГmkiX,m+hkin,n＞

=F,i-Ukhki。

已知＜n,n＞=1，则＜ddtn,n＞=0，最终得

ddtn=gij(F,i-Ukhki)X,j。

定理 2。4第二基本形式hij满足

ddthij=F;ij-Fhkih,kj-(Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+UkГmkih,mj)+ГmijUkhkm。

证明 由于X,ij=ГmijX,m-hijn,我们定义分号X;ij=X,ij-ГmijX,m, 则我们可得hij=-＜X;ij,n＞。

ddthij=-ddt＜X;ij,n＞

=-＜ddtX;ij,n＞-＜X;ij,ddtn＞

=-＜ddtX;ij，n＞-＜-hijn,ddtn＞

(根据定理 2。3)

=-＜ddtX;ij,n＞

(由 X;ij=X,ij-ГmijX,m)

=-＜ddt(X,ij-ГmijX,m),n＞

=-＜ddtX,ij,n＞+＜ГmijddtX,m,n＞

=-＜(ddtX),ij,n＞+＜Гmij(ddtX),m,n＞

=-＜(UkX,k-Fn),ij,n＞+＜Гmij(UkX,k-Fn),m,n＞

=-＜（UkX,k）,ij,n＞+＜(Fn),ij,n＞+＜Гmij(UkX,k,m,n)＞-＜Гmij(Fn),m,n＞。

由于计算量庞大，分开来计算：

＜(Fn),ij,n＞=＜F,ijn,n＞+＜F,in,j,n＞+＜F,jn,i,n＞+＜Fn,n,ij＞

=F,ij+F＜n,n,ij＞

=F,ij+F＜n,(hkiX,k),j＞

=F,ij-Fhkih,kj。

＜Гmij(Fn),m,n＞=Гmij＜(Fn),m,n＞

=Гmij＜(F,mn+Fn,m),n＞

=ГmijF,m。

＜Гmij(UkX,k),m，n＞=Гmij＜(UkX,k),m,n＞

=Гmij＜(Uk,mX,k+UkX,km),n＞

=Гmij＜Uk(ГnkmX,n+hkmn),n＞

=ГmijUkhkm。

＜(UkX,k),ij,n＞=＜(Uk,iX,k+UkX,ki),j,n＞

=＜Uk,ijX,k+Uk,iX,kj+Uk,jX,ki+UkX,kij,n＞

=＜Uk,iX,kj,n＞+＜Uk,jX,ki,n＞+＜UkX,kij,n＞

=Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+＜UkX,kij,n＞

=Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Uk＜(X,ki),j,n＞

=Uk,ih,kj+Ukjh,ki+Uk＜(ГmkiX,m+hkin),j,n＞

=Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Uk＜(ГmkiX,mj+hkijn),n＞

=Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+Uk＜ГmkiX,mj,n＞

=Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+UkГmkih,mj。

将所有部分结合起来，可得

ddthij=-＜(UkX,k),ij,n＞+＜(Fn),ij,n＞+＜Гmij(UkX,k),m,n＞-＜Гmij(Fn),m,n＞

=-(Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+UkГmkih,mj)+(F,ij-Fhkih,kj)+ГmijUkhkm-(ГmijF,m)

=F;ij-Fhkih,kj-(Uk,ih,kj+Uk,jh,ki+Ukhkij+UkГmkih,mj)+ГmijUkhkm。

定理 2。5假设u(?,t):Rn×［0,∞)→R, t∈I。 令Mt=graphu(?,t)，则ddtu=1+｜Du｜2?F 。

证明 令X(p,t)=(F＾(p,t),u(F＾(p,t),t))，则

F=＜Fn,n＞=＜-ddtX,n＞

=-＜(ddtF＾,dudF＾)dF＾dt+dudt,n＞

(By ［2］ lemma1。1 )可得

n=((ui),-1)1+｜Du｜2

=-＜(ddtF＾,dudF＾dF＾dt+dudt),((ui),-1)1+｜Du｜2＞

=(ddtu)?11+｜Du｜2

最终得ddtu=1+｜Du｜2?F。

3毕喙鼐典曲率流的例子

例1 令Uk=0,F=H=λ1+λ2+…+λn，显然H是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-Hn,由上述讨论直接可得

ddtgij=-2Hhij,ddtg=-gH2,ddtn=gijH,iX,j,ddthij=H;ij-Hhkih,kj?ddtu=1+｜Du｜2?H。

例2 令Uk=0,F=｜A｜2=λ12+λ22+…+λn2，显然｜A｜2是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-｜A｜2n。直接得

ddtgij=-2｜A｜2hij,ddtg=-g｜A｜2H,

ddtn=gij｜A｜2,iX,j,ddthij=｜A｜2;ij-｜A｜2hkih,kj,

ddtu=1+｜Du｜2?｜A｜2。

例3 令Uk=0,F=trAk=λ1k+λ2k+…+λnk，trAk是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-trAkn。直接得ddtgij=-2trAkhij,ddtg=-gtrAkH,ddtn=gijtrAk,iX,j,ddthij=trAk;ij-trAkhkih,kj,ddtu=1+｜Du｜2?trAk。

例4 令Uk=0 and F=K=λ1λ2…λn,K是关于主曲率对称的函数，则发展方程变为ddtX=-Kn。我们有ddtgij=-2Khij,ddtg=-gKh,ddtn=gijK,iX,j,ddthij=K;ij-Khkih,kj,ddtu=1+｜Du｜2?K。

【参考文献】

［1］ Klaus Ecker。 Regularity theory for mean curvature flow,September 26,2003

［2］ OLIVER C。SCHNURER。 geometric evolution equations,2007。