一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法

崔洪涛

【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。

【关键词】几何题；解法

题目 已知圆C:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

一、设而不求

解 设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)。

由题意知OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0。（*）

即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。

由y=x+b,

(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得

2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。

Δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，

即b2+6b-9<0，-3-32

由韦达定理得x1+x2=-b-1，x1x2=b2+4b-42。

代入（*），2×b2+4b-42+b×(-b-1)+b2=0，

即b2+3b-4=0，

解得b=1或b=-4，满足Δ>0。

所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．

二、抓关键点——弦AB的中点

直接法:设直线l的方程为y=x+b,AB的中点为D,

则CD⊥AB,得kCD=-1,直线CD方程为x+y+1=0,

由x+y+1=0,

y=x+b，得D-b+12,b-12。

在Rt△ACD中,AC=3,CD=|3+b|2,AD=DO=

b+122+b-122。

由勾股定理,AC2=CD2+AD2。

即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。

所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．

间接法: 设直线l的方程为y=x+b, AB的中点D(a,b)。

由CD⊥AB,得b+2a-1=-1。

(1)

在Rt△ACD中,AC=3,CD=(b+2)2+(a-1)2,AD=DO=a2+b2。

由勾股定理,AC2=CD2+AD2,

即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。

(2)

联立(1)(2)解得a=-1

b=0或a=32,

b=-52。

当a=-1,

b=0时,直线l的方程为y=x+1;

当a=32,

b=-52时,直线l的方程为y=x-4．

三、借助曲线系

解 设直线l的方程为y=x+b。

以AB为直径的圆可设为(x-1)2+(y+2)2-9+λ(x-y+b)=0,

即x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y-4+λb=0,圆心为2-λ2,λ-42。

由圆心在直线l上得2-λ2-λ-42+b=0。

(1)

由以AB为直径的圆过原点得-4+λb=0。

(2)

联立(1)(2)解得λ=4,

b=1或λ=-1,

b=-4。

所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．

四、线段AB可看作两圆的公共弦

解 设以AB为直径的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0。

由以AB为直径的圆过原点得F=0。

两圆方程相减可得公共弦AB所在直线方程为

(D+2)x+(E-4)y+4=0。

由圆心-D2,-E2在直线AB上得(D+2)×-D2+(E-4)×-E2+4=0。

(1)

又由于直线AB的斜率为1，可得-D+2E-4=1。

(2)

联立(1)(2)解得D=2，

E=0或D=-3，

E=5。

当D=2，

E=0时,直线l的方程为y=x+1；

当D=-3,

E=5时,直线l的方程为y=x-4．

事实上,在现行教学理念下,多给学生一些自主学习的时间,学生会给我们很多惊喜。