直击概率计算题常见错误直击概率计算题常见错误

晁丰成

【摘要】从2005年开始实施的苏教版新教材必修3中有关概率计算问题主要包括两种概率模型：古典概型和几何概型，掌握古典概型和几何概型的概率计算是基本要求，在平时模拟考试及高考中均以中低档题出现，但学生在平时解题或考试中仍然会出现各种各样的问题，笔者认为有必要对学生存在的主要障碍作一些探讨，以便指导平时教学并适应新课改的需要。

【关键词】概率；计算

结合平时教学，我认为在平时的概率计算题中的常见错误主要如下：

一、有序与无序不统一

例1 在一个盒中装有15支圆珠笔，其中7支一等品、5支二等品和3支三等品，从中任取2支，问：下列事件的概率有多大？

（1）恰有一支一等品；（2）恰有两支一等品；（3）没有三等品。

仅以第（1）问为例，简单介绍主要错误情况。

错解 记恰有一支一等品为事件A，则从15支圆珠笔中抽取两支共包含15×14(个)基本事件，事件A中共有7×8（个）基本事件，∴P(A)＝56210＝415。

我们现在重新审视这道题，从15支圆珠笔中抽取两支可以理解为有序抽取，即逐一抽取，此时共有基本事件的总数可用分步原理解决：

第一次抽取共有15种结果，第二次抽取共14种结果。

∴从15支圆珠笔中抽取两支共有15×14＝210(种)结果。

事件A为恰有一支一等品，研究它包含基本事件也必须理解为有序抽取，共包含两种情况：

情况一：第一次取到一等品且第二次取到非一等品，共含有7×8＝56(个)基本事件。

情况二：第一次取到非一等品且第二次取到一等品，共包含8×7＝56(个)基本事件。

∴事件A中共包含基本事件的个数为56＋56＝112(个)。

到此处，同学们错解本题的原因就真相大白了，在求基本事件总数时所用的抽取方式为有序抽取，而在求事件A基本事件的个数时又用无序抽取，即在一个问题中有序与无序不统一，此时必然出错。

正解一 记取到一支一等品为事件A。

从15支圆珠笔中抽取两支共包含15×14＝210(个)基本事件，事件A中共有7×8＋8×7(个)基本事件。

∴P(A)＝112210＝815。

本题也可将抽取过程理解为无序抽取。

正解二 记取到一支一等品为事件A。

从15支圆珠笔中抽取两支共有15×142＝105(种)结果，事件A中共有7×8＝56(种)结果。

∴P(A)＝56105＝815。

由此可知，无论从有序抽取还是无序抽取的角度处理古典概型的摸球问题都是可以的，关键是有序与无序的统一。

二、实际背景理解不透

例2 从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的概率为