例析数形结合之法

2012-04-29 18:18林峰
成才之路 2012年14期
关键词:数形结合解题方法

林峰

摘要:数形结合的思想在高中数学中占有极其重要的地位。用例题来分析数形结合在解题中的巧妙运用,让学生自主地发现数形结合的存在,并自然地使用数形结合的方法解题。

关键词: 数形结合;解题;方法

数与形是数学中两个最古老、最基本的问题,是数学这栋大厦的两个基石,二者是一对密不可分的矛盾体。每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。正如美国数学家斯蒂恩也曾说过:“如果一个特定的数学问题可以转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法。”数形结合的实现,常与以下方面有关:数与坐标轴上的点的对应关系;函数和图像的相关联系;以几何元素和几何条件为背景建立起来的如圆、不等式等概念;含有明显的几何意义的等式或代数式;方程与曲线的相关联系。

在解题时,把抽象的数学语言与直观的图形有意识地结合起来,根据问题的特征、特点, 或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,巧妙利用两者的“结合”,找到解题思路,使问题得以解决。

“数形结合”思想是数学教学内容的主线之一,在高中数学中占有极其重要的地位。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。本文试从“以形助数” 方面,举例说明其在解决问题中的一些妙用。

一、利用直线斜率的几何意义巧妙解题

例1:已知方程x2+y2+4x-6y+12=0,求的值域。

解析:方程x2+y2+4x-6y+12=0表示以(-2,3)为圆心,以1为半径的圆。的几何意义是求已知圆上的点与点M(1,-1)连线所在直线的斜率的大小,而最值就是两条切线所在直线的斜率值。那么,利用数形结合就很快求出答案来。

解:如图1,设过点M(1,-1)的直线方程L为y+1=k(x-1),即kx-y-k-1=0。圆心(-2,3)到直线L的距离等于1,可得d==1,k1=,k2=。即的值域是[,]。

二、利用两点间距离公式巧妙解题

例2:已知方程x2+y2+4x-6y+12=0。求:(1)x2+y2的值域,(2)(x-2)2+(y-1)2的值域。

解析:x2+y2的几何意义是求已知圆上的点与圆点的距离的平方。(x-2)2+(y-1)2的几何意义,是求已知圆上的点与点M(2,1)的距离的平方。

解:如图2, x2+y2的最大值是|OB|2=(-2)2+32+1=14,x2+y2的最小值是|OA|2=(-2)2+32-1=12,(x-2)2+(y-1)2的最大值是|OD|2=(-2-2)2+(3-1)2+1=21,(x-2)2+(y-1)2的最大值是|OC|2=(-2-2)2+(3-1)2-1=19,所以x2+y2的值域是[12,14], (x-2)2+(y-1)2的值域是[19,21]。

例3:求函数y=+的值域。

分析:考察函数式的特点,学生从代数的角度去求解,发现此路非常烦琐。这时,引导学生思考函数式背后的几何背景,利用数形结合思想,巧用两点间距离公式来入手求解。

解:函数式可化为+=+。

如图3,令A(-1,1),B(2,3),M(x,0),把问题转化为在X轴上一点M,求|MA|+|MB|的值域。如图3,AB两点在X轴同一侧,故取A关于X轴的对称点C(-1,-1),故(|MA|+|MB|)最小值=|CB|==5,函数y=+的值域是[5,+∞]。

三、利用直线截距的几何意义巧妙解题

例4: 已知方程x2+y2+4x-6y+12=0,求Z=2x+y的值域。

分析:把Z=2x+y看成y=-2x+Z,Z是直线y=-2x+Z在y轴上的截距。

解:如图4利用数形结合可知,圆心(-2,3)到切线y=-2x+Z的距离为半径1,即=1,得Z的最大值为-1,Z的最小值为--1,所以Z的值域是[--1,-1]。

例5:求函数m=+的值域

分析:由于根号内同为n的一次式,若只做简单换元,也无法转化出一元二次函数求值域;倘若对式子进行平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得非常困难。考虑采用两步换元,利用数形结合的思想把代数问题转化为几何问题来求解。

解:如图5,设x=≥0,y=≥0,则m=x+y,由于x2+3y2=9,因此m是直线y=-x+m与椭圆x2+3y2=9在第一象限的部分(包括端点)有交点时在y轴上的截距,可得M的最小值为,直线与椭圆相切于第一象限时,m取最大值y=-x+mx2+3y2=9,消元得4x2-6mx+3m2-9=0,令△=0得m的最大值为2。所以m的值域是[,2]。

从以上几题可以发现 ,数形之间的巧妙转换是利用数形结合思想解题的关键之一。利用“数”与“形”的巧妙转换,把代数式的精准刻画与几何图形的直观描述相结合,体现抽象思维和形象思维的有机统一。只有做到胸中有数,脑内有形,才能做到以数促形,以形助数,充分发挥图形在解题中的作用,一定能找到别样的精彩。

(韶关市中等职业技术学校)

猜你喜欢
数形结合解题方法
用“同样多”解题
设而不求巧解题
用“同样多”解题
可能是方法不对
数形结合在解题中的应用
浅析数形结合方法在高中数学教学中的应用
用联系发展的观点看解析几何
妙用数形结合思想优化中职数学解题思维探讨
解题勿忘我
用对方法才能瘦