中考中的动点问题

张瑞蓉

这几年的中考后两道的压轴题，基本上都有一题出现“几何动态”问题。所谓的几何动态指的是以运动的观点探究几何图形的变化规律问题。这种题目包揽了知识的全面性，主要以中档题与综合题形式出现，有时也会以选择题的形式出现。它的特点决定审题思考的复杂性和解题时的多样性，突出了运用知识的灵活性，能够真实地考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔能力；同时依托图形的变化，能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性。

动态问题在中考中占有相当大的比重。就题目的动来说，可以分成三类:动点、动线、动形；详细一点地说动态问题的“动点”，是说点的运动。指的是在三角形、矩形、题型等等一些几何图形上，设计一个或者几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变化关系、图形的特殊状态、图形的特殊关系等进行研究。动态问题的“动线”通常讲的是直线（线段），比较多的时候是考察直线和圆的位置关系。通过直线的移动跟圆形成的位置关系形成的特殊图形，观察所形成的等量或不等量关系来解决问题。动态问题中的“动形”主要指三角形、四边形、圆等图形，它的运动形式有平移、旋转、翻折（轴对称）等，它既可以是规则运动，也可以是不规则运动。经常是给定的图形（或其中一部分）实行某种位置关系，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考查学生动手能力、观察能力、探索与实践能力。不管是动态问题的哪一类问题，通常我们解这类问题的关键是“寓动于静”，即寻找运动中的不变量或图形的特殊位置，把动态问题转化为静态问题来研究，从而找到解题的突破口。

在教学过程，每次碰到动点的题目，有的学生就总是怕，甚至干脆就放弃。其实你不要把它想成是在动的，就当成是某个位置时的点。或者，你就想象成一个人在那条路上走啊，人停留在路边的某个点上，想成自己熟悉的东西，应该会比较好理解些。运动的时间、速度要转化成线段的长度问题，所以运动过的线段的长度其实就是点“走”过的路程啊，这样就可以用时间来表示线段的长了。关于动点的题型，有时只是一个点运动；有时说的是两个点运动的情况。现在，我们就举些例子来看看。

一、单动点型

例1：（2011年厦门中考试卷第25题）如图1，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形，（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

考点：考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质。

分析：（1）简单的一道证明题。根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可。（2）这就是动点问题。虽然是单动点，但是这个动点P运动在不同的路线，所以要分不同的情况：当P在BC上时，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△NAP∽△ABC，推出PN：AN：AP=4：3：5，设PN=4x，AN=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可。

解答：如图2. （1）证明：在△ABC和△CDA中，∠B=∠D，∠BAC=∠DCA，∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，由勾股定理得：AC=4，即AB、CD间的最短距离是4. 设经过ts时，△BEP是等腰三角形。当P在BC上时，①BE=BP=2，t=2时，△BEP是等腰三角形。

②BP=PE，作PM⊥AB于M，∵cosB===，∴BP=，t=时，△BEP是等腰三角形。

③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，∴cosB==，∴=，BN=，∴BP=，t=时，△BEP是等腰三角形。

当P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4，当P在AD上时，只能BE=EP=2，过P作PQ⊥BA于Q，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠NAD=∠ABC，∵∠BAC=∠N=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4x，AQ=3x，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=，∴t=5+5+3-=.

答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形。

点评：本题利用动点的多样性、灵活性考查对平行四边形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键。

例2：（2011年莆田中考试卷第24题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中A (1，0)，C(0，-3).（1）求抛物线解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）.①如图3.当△PBC面积与△ABC面积相等时，求点P的坐标；②如图4.当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

解：（1）由题意，得a+b+c=0c=-3-=2，解得a=-1,b=4,c=-3，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3。

（2）①令-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3, 0），当点P在x轴上方时，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AP的解析式为y=x+n，∵直线AP过点A（1,0），代入求得n=-1。∴直线AP的解析式为y=x-1,解方程组y=x-1y=-x2+4x-3，得x1=1y1=0,x2=2y2=1,∴点p1（2，1）。当点P在x轴下方时,设直线AP1交y轴于点E(0,-1)，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P2、P3，得直线P2、P3的解析式为y=x-5，解方程组y=x-5y=-x2+4x-3，得x1=y1=,x2=y2=,∴P2(,),P3(,)。综上所述，点P的坐标为：P1(2,1),P2(,),P3(,).

②∵B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，设直线CP的解析式为y=kx-3，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α，∵∠PCB=∠BCA ， ∴∠PCB=45°-α，∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，∴∠OCA=∠OQC，又∵∠AOC=∠COQ=90°，∴Rt△AOC∽Rt△COQ，∴=，∴=，∴OQ=9，∴Q(9,0)，∵直线CP过点Q(9,0)，∴9k-3=0，∴k=，∴直线CP的解析式为y=x-3。

点评：本题以静制动，考虑P所在不同位置出现的不同情况分类处理，利用平行线间距离处处相等，把面积问题转化成线段相等的问题，轻松利用两直线平行求直线解析式，再求函数交点即可；在②中同时也把P当成在某一个特殊位置，转化成相似三角形来解决问题，这是很常用的一个解题思路。

二、双动点

例3：（2011年泉州中考试卷第26题）如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得OB==4.∴A（3，0），B（0，4）．设直线AB解析式为y=kx+b.∴3k+b=0b=4 ,解得k=-,b=4 ,∴直线AB解析式为y=-x+4．

（2）如图6，过点Q作QF⊥AO于点F，∵ AQ = OP= t，∴AP=3-t,由△AQF∽△ABO，得=． ∴=,∴QF=t，∴S=(3-t)·t，∴S=-t2+t.

（3）四边形QBED能成为直角梯形。①如图6，当DE∥QB时， ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ∽△ABO，得=.∴= ． 解得t=． ②如图6，当PQ∥BO时，∵DE⊥PQ，∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP∽△ABO，得=,即=．解得t=．

（4）t=或t=．

解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的类似性质，从而获得相关结论。当然，解题前一定要好好理解图形的运动规律，了解运动前后边、角之间的数量关系，尽量抓住特殊位置，在动中取静，抓住变化中的“不动量”，以不变应万变，使问题得到解决。类比发现法大致可遵循如下步骤：① 根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；② 结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常用三角形相似或全等，有时也会用到平行四边形边的性质等）得出相关结论。③ 类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。

（晋江市英林中学）