例谈用正弦余弦定理解三角形

赵建军

解三角形是高中数学必修五的主要内容，是初中“解直角三角形”内容的拓展与延续，也是三角函数和平面向量在解三角形中的应用. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，定量地揭示三角形边、角之间的数量关系，而正弦定理与余弦定理是反映三角形元素度量关系的重要定理，是解决三角形边与角度量关系的强大工具. 然而，学生在遇到此类问题时，却不知何时该用哪个定理. 基于此，本文主要就此作了归纳总结.

１． 已知一边和两个角，解三角形

例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２０，Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，求Ｂ，ｂ，ｃ．

思维导引 由正弦定理先求角C对应的边长c.

解析 ∵ Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，∴ Ｂ ＝ １８０° － （Ａ ＋ Ｃ） ＝ １０５°.

又由正弦定理得c = ■ = ■ = 20■，

b = ■ = ■＝ ４０ ｓｉｎ（４５° ＋ ６０°）= 10（■ + ■）.

∴ Ｂ ＝ １０５°，ｂ ＝ １０（■ ＋ ■），ｃ ＝ ２０■．

规律方法 已知三角形的任意两个角及一边，由三角形内角和定理可以先求出三角形的另一角，再由正弦定理计算出三角形的另两边.

２． 已知两边和其中一边的对角，解三角形

例２ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ■，ｂ ＝ ■，Ｂ ＝ ６０°，求Ａ，Ｃ，ｃ．

思维导引 先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理求第三角，最后求第三边.

解 由正弦定理有■ = ■，解得sin A = ■．

由a < b，得A < B． ∴ A = 45°，C = 75°．

c = ■ = ■ = ■.

规律方法 已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形. 先由正弦定理求另一边的对角（要注意有可能两解），再由内角和定理求第三角，最后求第三边.

３． 已知两边及其夹角，解三角形

例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２■，ｃ ＝ ■ ＋ ■，B = 45°，解三角形．

思维导引 先由余弦定理求第三边和另一个角，再由内角和定理求第三个角．

解 由余弦定理，得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃ ｃｏｓ Ｂ ＝ ８，

∴ ｂ ＝ ２■．

由正弦定理，得sin A = ■ = ■ = ■．

∵ c > a > b，∴ A为锐角．

∴ A = 60°，C = 180° - 45° - 60° = 75°．

４． 已知三角形的三边，解三角形

例４ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ７，ｂ ＝ ３，c = 5，求三角形最大角.

思维导引 先由余弦定理求两个角，再由内角和定理求第三个角． 在三角形中，大边对大角，所以边a所对角最大．

解 ∵ a > c > b，∴ A为最大角．

由余弦定理求得cos A = ■ = -■.

∴ A = 120°． A为最大角．

一个三角形有三个角和三个边共六个量，我们一般要确定一个三角形，至少需要已知三个量（至少一边）. 一边和二角，二边和一角，三个边. 解三角形的综合问题，除灵活运用正弦定理与余弦定理外，还要注意三角形性质，以及三角恒等变形的应用.