目标规划在制定企业生产计划中的应用

龙春涛

摘要：为了探讨如何在既定的资源中实现企业效益的最大化，利用目标规划研究成都市某企业生产计划的制定问题，建立了相应的目标规划模型，并应用管理运筹学软件求解该模型。此模型为中国一些中小型企业做出科学的生产计划提供了一定的依据。

关键词：目标规划；生产计划；企业

中图分类号：F27文献标志码：A文章编号：1673-291X（2012）18-0035-03

引言

目标规划是应用于工业和公共决策问题中的第一个多目标方法。目标规划问题本质上是寻找达到多于一个目标的线性规划问题。目标规划的发展以应用为主，其在国民经济管理各行业、各部门的应用日益广泛，如在决策支持系统中、工程优化设计中、统计学中及经济学中等。在当代中国，企业之间的竞争从重品质转向了重效率、重成本、重管理等。随着社会的发展和市场竞争的加剧，迫使企业不得不注重在现有生产能力的基础上，充分挖掘潜力，最大限度地提高企业的生产绩效与管理绩效，不断增强自己抗御各种风险的能力，从而保证企业成为时代的强势主体，而如何制订生产计划便是企业管理者面临的首要问题。管理者在拟订生产计划时，不仅要考虑总产值，而且要考虑利润、产品质量和设备利用率等，如何统筹兼顾多种目标，选择合理方案，是十分复杂的问题。目标规划比较符合现代管理决策的实际，其方法灵活，有能力处理互相冲突的经济问题。较线性规划来说，目标规划在解决这类问题时，体现了其优越性，已成为解决现代管理问题的一种行之有效的方法。

一、目标规划的原理

1.决策变量。决策变量，又称控制变量，用x1，x2，…，x3表示，即模型最终要求的解。

2.偏差变量。根据最终计算出的目标值与目标预定值之差称为偏差。引入偏差变量可以确保原规划模型的目标函数转化为目标约束。偏差变量分为两种，负偏差变量和正偏差变量。第k个目标的负偏差变量记为dk-，它代表目标计算值未达到目标预定值的数值，目标规划模型中规定dk-≥0。第k个目标的正偏差变量记为dk+，它代表目标计算值超过目标预定值的数值，目标规划模型中规定dk+≥0。偏差变量的取值有3种可能：第k个目标的计算值超过原先设定的预定值，即超额完成预定目标，此时，dk-=0，dk+＞0；第K个目标的计算值未达到原先设定的预定值，即未完成预定目标，此时，dk-＞0，dk+＝0；第K个目标的计算值正好达到目标的预定值，此时dk-=0，dk+=0。

3.系统约束和目标约束。系统约束是指对某些资源（需求）进行限制的原始约束条件，也称为刚性约束。目标约束是目标规划特有的一种约束，指的是原目标函数在确定目标预定值，并增加偏差变量后转换成的新的约束条件。由于这类约束包含允许不达标的负偏差变量d-，也包含允许超过目标预定值的正偏差变量d+，所以目标约束也称为柔性约束。

4.目标函数。由目标规划问题原始各个目标构成的函数，目标函数实质上是一个关于目标优先等级和偏差变量的线性组合。对于满足系统约束的目标约束的满意解，从决策者的角度看，判断其优劣的依据是目标的计算值与其预定值的偏差的大小。目标规划模型的目标函数的数学表达式为：min Z=

f（d+，d-）。目标规划问题各原始目标因要求不同，引入偏差变量后的目标函数有如下三种基本形式：（1）决策者希望目标的计算值等于目标的预定值，或对于经求解所取得的目标计算值心中无数，这时，可以这样构造目标函数：使计算结果中相应目标的两个偏差变量之和为最小（最理想的结果是都等于0），具体的形式为：min Z=d++d-。 （2）决策者希望目标的计算值不超过目标的预定值，即允许达不到预定目标（例如，对于某种资源的使用，允许有剩余），这时，可以这样构造目标函数：使计算结果中相应目标的正偏差变量为最小。具体的形式为：min Z=d+，需要说明的是，对于这类目标，决策者并不关心负偏差变量取值的大小。（3）决策者希望目标的计算值超过目标的预定值，即允许超过预定目标（例如，对于产品的市场需求的提供量，允许有超额），这时，可以这样构造目标函数：使计算结果中相应目标的负偏差变量为最小。具体形式为：min Z=d-，需要说明的是，对于这类目标，决策者并不关心正偏差变量的取值的大小。

5.优先等级和权重系数。人们在解决目标规划问题而构造数学模型时，为了满足多个决策的需要，就要设立多个目标。这些目标的重要程度不可以完全相同，决策者根据实际情况进行分析，然后按照各个目标的重要程度给不同的目标赋予不同的优先等级，这种优先等级为计算求解提供不同的判别标准。在同一个优先等级下，如果存在多个目标，则可以通过给出不同的权重系数来确定其重要程度。（1）优先等级。设目标规划问题有k个目标，分为s个优先等级，分别用优先因子p1，p2，…，ps 来表示，规定pt＞pt+1，优先因子的序号越小，说明等级越高。目标的优先等级是个定性的概念，不同的优先等级无法从数量上加以衡量和比较。优先因子可以理解成用来区别各个目标的重要程度的一种符号，表明无论w值有多大，都不能使wpt+1＞wpt，即低位目标无论如何都不如高位目标重要。（2）权重系数。权重系数是指各目标中偏差变量的系数，是一个可以用数量来衡量的指标。对属于同一优先等级的不同目标可按其重要程度（这由决策者根据偏好或政策因素等特征来决定）分别给予不同权重系数，以此来反映各目标重要程度的差异。应该注意的是，处于同一优先等级中的不同目标，其计量单位必须相同，否则，目标函数值就无法比较和衡量。

其模型如下：求minZ=Σpt（ftk-dk-+ftk+dk+） （t=1，2，…，s），（k=1，2，…，r）

Σckjxj+dk--dk+=ek，（j=1，2，…，n），（k=1，2，…，r）

Σaijxj≤bi （i=1，2，…，m），（j=1，2，…，n）

xj≥0（j=1，2，…，n） dk-，dk+≥0（k=1，2，…，r）

在目标规划的数学模型中，s为目标函数Z中优先等级的个数，r为目标约束的个数，s≤r。通常情况下，s=r；当存在几个不同目标属于同一个优先等级时s＜r。

目标规划的数学模型式中的元素说明：xj：决策变量；aij：系统约束的系数矩阵；ckj：目标约束的系数矩阵（或当前目标约束中未含偏差变量的系数矩阵部分）；bi：系统约束的右端常数；ek：目标约束的预定值（或目标约束的右端常数）；pt：目标的优先等级；dk-：各目标约束对应的负偏差变量；dk+：各目标约束对应的正偏差变量；ftk-：目标优先等级pt中对应于负偏差变量dk-的权重系数；ftk+：目标优先等级pt中对应于正偏差变量dk+的权重系数。

ftk-，ftk+所代表的权重系数通常为1（缺省值为1），只有当多个原目标属于同一个优先等级时（即多个原目标合为一个目标时）才需要根据具体情况专门指定。

6.目标规划模型的解。一般而言，求解目标规划模型所得到的最优解，使其各个目标都实现最优是不可能的，因此，这个所谓的最优解只是优解，实质上应称为原目标规划问题的满意解。满意解又称为可接受的解，对应地还存在不可接受的解。（1）可接受的解。如果所求得的最终解，主要目标已经实现（Z1*=0），而其他某个（或某些）等级的目标函数值ZK*=a≠0（2≤k≤s），则说明pk等级的目标没有完全实现，则这个最终解就称之为可接受的解。可接受的解其实就是充分考虑优先级较高的目标并权衡其他一般目标的满意解。（2）不可接受的解。如果所求得的最终解，主要目标（优先等级为p1的目标）没有实现（Z1*≠0），则这个最终解就是不可接受的解。此时，一般做法是适当放松有关约束或降低p1目标的预定值，然后再进行模型的调适和计算，直到最高等级的p1目标完全得以实现。

二、目标规划在制定企业生产计划中的应用

1.问题的提出。四川省成都市A预制厂是一个生产销售各种预制板和小件的小型工厂。长期以来，该厂只凭简单的经验制订生产计划，虽然能获得一定的利润，但没有经过系统的、科学的规划，没有达到效益的最大化。该厂急需一种合适的方法为其制定一个更佳的生产计划。

将该厂生产的预制板归类为小型、中型和大型，小件归类为小型、中型和大型。各类预制板的成本和利润（如表1所示）。各类小件的成本和利润（如表2所示）。

表1

表2

已知该厂每月最多生产预制板900件，小件1 500件，且每月支出水电费及设备维护费等3 000元。月初规划时考虑如下几个目标：第一优先级：月利润不得低于14 000元；第二优先级：生产的小件数量宜为预制板数量的1/3；第三优先级：企业用于生产两类货物的成本不得高于65 000元；第四优先级：生产的大型预制板不得超过300张。

试确定该厂的月生产计划，即确定其每月生产的各类预制板和小件的数量。

2.建立数学模型。设该厂生产各型号预制板的数量为X（i=1，2，3），生产各型号小件的数量为X（i=4，5，6）。

生产能力限制：

x1+x2+x3≤900（1）

x4+x5+x6≤1 500（2）

利润约束：10x1+15x2+20x3+7x4+9x5+53x6+d1--d1+-

3 000=14 000 （3）

数量约束：x1+x2+x3-3x4-3x5-3x6+d2--d2+=0 （4）

x3+d4--d4+=300 （5）

成本限制：53x1+68x2+83x3+15x4+31x5+150x6+d3--d3+=

65 000 （6）

目标函数为：minZ=p1d1-+p2（d2-+d2+）+p3d3++p4d4+

（7）

由上可得目标规划模型：

minZ=p1d1-+p2（d2-+d2+）+p3d3++p4d4+

x1+x2+x3≤900

x4+x5+x6≤1 500

10x1+15x2+20x3+7x4+9x5+53x6+d1--d1+-3 000=14 000

x1+x2+x3-3x4-3x5-3x6+d2--d2+=0

53x1+68x2+83x3+15x4+31x5+150x6+d3--d3+=6 000

x3+d4--d4+=300

3.求解模型。目标规划的求解有多种方法，例如：单纯形法、图解法、Excel电子表格法等。本文选用管理运筹学软件求解。只要在目标规划中输入目标规划的子模型中输入目标规划的数据即可得到结果。需要注意输入栏中决策变量的个数是不包括偏差变量的决策变量的个数，绝对约束个数是指不含偏差变量的约束条件的个数。

模型经求解后，各变量取值（如表3所示）。

可见，目标1，目标2，目标3，目标4都达到了。

由上可知，该厂的月生产计划（如表4所示）。

表4

若该厂按此方案生产，所用的生产成本为60 432元，可获得月利润16 984元，收益率为28.1%。经过规划后制定的这个方案符合该厂的实际情况和市场需求，并在一定程度上提高了工厂的经济效益。

结论

用目标规划方法制订生产计划，可使工厂获得较多的经济效益。即使在其他条件变化时，管理者也能够合理地安排生产。实践使人们意识到，用科学方法比简单经验好。私有企业与国有企业不同，在生产过程中受到的市场、原材料等方面的限制较多，竞争性较强。在金融危机的背景下，为了求得企业的发展，用科学的方法去经营显得更为重要。目标规划方法是科学的规划方法，特别是对那些自产自销、自负盈亏的小型工厂，具有特殊的适用价值。

参考文献：

[1]宣家骥.目标规划的特点和进展[J].运筹学杂志，1993，(1):34-432.

[2]陈意平，张幼蒂.用目标规划方法优化露天矿生产计划[J].化工矿山技术，1992，(3):10-144.

[3]赵金鹏.目标规划在煤矿生产计划中的应用[J].河北煤炭建筑工程学院学报，1994，(1):46-543.

[4]陶青平，何诗兴.马钢中板厂生产计划编制模型[J].马钢职工大学学报，2003，(3):61-645.

[5]赵雁，贾小刚.目标规划法在结构多目标优化设计中的应用[J].武警工程学院学报，2008，(2):25-296.

[6]管理运筹学:第2版[M].北京:高等教育出版社，2005:7.

The Application of Goal Programming in Making Enterprise Production Plan

LONG Chun-tao

（Xinjiang University of Finance and Economics of Applied Mathematics Institute，Urumqi 830012，China）

Abstract： In order to study how to use the established resources to achieve enterprise the biggest benefit，use target program to study the production planning problem of some enterprise in Chengdu，built the goal programming model，and apply the operation research for management software to solve the model. The model provide a certain basis for China' s small and medium enterprises to make scientific production of plans.

Key words: goal programming;prodution plan;enterprise

[责任编辑 刘娇娇]