初中平面几何图形变式教学的几点体会

林兴纳

几何学习和应用概念去解决几何问题的能力强弱，总是受许多条件的影响，这种影响有一部分来自部分学生头脑中已经具有的图形经验的多少，在学生头脑中所具有的图形经验和概念的内涵意义不完全一致，也来自教学概念时的方式和讲解概念所依据的图形变式，等等．什么叫图形变式？保持图形的本质属性，而变异其非本质属性所得的图形称为原图的图形变式．几何教学中所采用的图形变式，常见的有两种形式：其一为图形变式单独出现，仅仅是位置或形状作变式处理，另一种是图形出现间隔、缺损、重叠、交错等干扰，几何对象的本质成分有时会被次要的复合成分掩盖．

一、几何概念教学需要图形变式

１． 为完整地认识概念的内涵，教师应该选择一定的图形变式，组织新的感性经验，克服原有的图形经验不足．在学习概念时，配以较完整的图形变式系统，让学生通过比较各种变式图形的异同点，抽象出概念的本质属性，同时舍弃其非本质属性，为理解和掌握概念的本质属性提供有利条件．这是几何概念教学的正确方法之一．

例如，讲述三角形高的概念，教师必须考虑作三角形高的各种变式．如果只画锐角三角形一种图形，当学生遇到钝角三角形时，便不会由两锐角顶点向对边作高．

讲授三角形外心概念时，须指导学生画三种类型三角形的外接圆，从而更清楚理解三角形外心的存在意义和它在三角形中的位置．在图１～图３中，点Ｏ都是三角形的外心．

又如，关于圆周角概念，圆周角的内涵特征是：顶点在圆上，并且它的两边都是弦的角．下图４～图６就是关于圆周角概念外延所包含的各种变式图形．

２． 为使学生能更深刻认识概念，举错例和反例变式是行之有效的方法．例如邻补角的概念，如图７，∠１ ＋ ∠２＝ １８０°，∠１和∠２是邻补角吗？

又如，如图８，∠１和∠２是同位角吗？

下列图９～图１３中的角是不是圆周角？

下图１４～图１７给出的阴影部分是扇形吗？

特别是对一些容易引起模糊认识的概念，比如圆的切线（如图１８），学生常会理解成垂直于半径的直线，又如菱形（如图１９），学生容易理解成对角线互相垂直的四边形，等等．对此，教师可以画出图形加以提问，帮助学生澄清概念．

二、例题，习题教学需要变式图

几何教学应重视教材内容的研究和教学方法的探讨，更应挖掘课本例题习题的潜力，发挥它们在教学中的作用．把它们进行变式改组，可以充分发挥这些题目在训练思维能力和几何知识上的作用．通常采用变换命题的条件，结论，图形或编系列题组，或要求一题多解，一法多用，一题多变等方法．

１． 用几类基本图形单独或组合变式构题

（1）如由三角形中位线基本图形构图（图２１～图２５）：

（２）用基本图形等腰三角形，角平分线，平行线组合构题：

例１ 如图２５， AB是圆Ｏ的弦，如果AC∥OB，求证：AB平分∠ＯＡＣ．如果AB平分∠ＯＡＣ，求证：AC∥OB．

例２ 如图２６，△ABC中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的角平分线交于点D，过D作BC的平行线，交AB，AC于E，F，求证：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ．

例３ 如图２７，E是直线AB上一点，EC，ED 分别是∠ＡＥＦ和∠ＢＥＦ的平分线，CD∥AB，求证：ＣＦ ＝ ＦＤ．

例４ 如图２８，I是△ABC的内心，IG∥AC，求证：△IFG的周长等于BC．

例５ 如图２９，I是△ABC的内心，MN∥BC，求证：ＭＮ ＝ ＢM ＋ ＣＮ．

这种例子在几何论证教学中使用得很普遍．又如：

例６ 如图３０，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥BC. 问：可以得到什么结论？

例７ 如图３１，已知：∠１ ＝ ∠２，CD∥AE. 问：可以得到什么结论？

例８ 如图３２，已知：∠１ ＝ ∠２，DE∥BC.问：可以得到什么结论？

例９ 如图３３，已知：∠１ ＝ ∠２，ED∥AC.问：可以得到什么结论？

例１０ 如图３４，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥GE.问：可以得到什么结论？

２． 对可能出现的多种图形结论的习题训练

例１１ 在半径为１的圆Ｏ中，弦AB，AC分别是■和■，那么∠BAC ＝______________.

可能出现如图３５，图３６两种图形．

例１２ 已知△ABC内接于圆Ｏ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，半径ＯＢ ＝ ５ ｃｍ，圆心O到BC的距离为３ ｃｍ，求AB的长．

可能出现如图３７，图３８两种图形．

例１３ 请将四个全等直角梯形拼成一个平行四边形，可画出以下不同（不全等）的拼法示意图．

例１４ 在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段只有两个数值，则这四点的位置取法有多少种？画图说明．

例１５ 为了求■ + ■ + ■ + ■ + … + ■的值，设计下图及其变式图．

总之，几何教学需要善用变式思想，多画图形变式，能迅速提高数学的思维能力，教师要重视图形变式的作用，教学中要启发学生参与这个过程，使学生逐渐乐于并善于去主动探求合理的想象，促进创造性思维的发展．